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弱大数定理的意义与证明

2022-06-25 06:33:00 【herbie】

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弱大数定理的意义与证明

物理意义

大数定理是由概率的统计定义“频率收敛于概率”引申而来，它“说明”了一些随机事件的均值的长期稳定性。为了描述这一点，我们把频率通过一些随机变量的和表示出来。设做了次独立实验，每次观察某事件是否发生，则在这次实验中事件一共出现了次，而频率为：

若，则“频率趋于概率”表示在某种意义上，当很大时接近。但就是的期望值，故也可以写成： 当很大时接近与的期望值。按上述表述，问题就可以不必局限于只取0, 1两个值的情况，事实也是如此，这就是较一般情况下得大数定理。“大数”的意思，就是指涉及大量数目的观察值，它表明大数定理中指出的现象，只有在大量次数的实验和观察之下才能成立。例如一所大学可能包含上万名学生，如果我们随意观察一个学生的身高，则与全校学生的平均身高可能相去甚远。如果我们观察10个学生的身高取平均，则它有更大的机会与更接近些。如观察100个，则其平均又能更与接近些。再比如抛掷一颗均匀的6面骰子，1，2，3，4，5，6应等概率出现，所以每次扔出骰子后，出现的期望值是，基于大数定理，如果多次抛掷骰子，随着抛掷的次数增多，平均值（样本平均值）应该接近3.5。

下面给出投掷单个骰子的过程来展示大数定理。在这里插入图片描述

代码如下：

clear all;
clf;
clc;
% Specify how many trials you want to run:
num_trials = 1000;

% Now grab all the dice rolls:
trials = randi(6, [1 num_trials]);

% Plot the results:
figure(1);

% Cumulative sum of the trial results divided by the index gives the average:
plot(cumsum(trials)./(1:num_trials), 'r-');

% Let's put a reference line at 3.5 just for fun (make the color a darker green as well):
hold on;
plot([1 num_trials], [3.5 3.5], 'color', [0 0.5 0]);

% Make it look pretty:
title('average dice value against number of rolls');
xlabel('trials');
ylabel('mean value');
legend('average', 'y=3.5');
axis([0 num_trials 1 6]);