概率论得学习整理--番外3：二项式定理和 二项式系数

1 什么是二项式？

什么是二项式，得先从单项式，多项式说起

1.1 表达式

1.1.1数学上，表达式包罗万象，一般就是包含数字，变量，符号得式子，得有意义。

表达式分类

• 数值表达式

1. 代数表达式（算术表达式，数值表达式）,+-* %
2. 解析式
3. 等式: 恒等式，方程等式
4. 不等式

• 逻辑表达式（关系式）< > =  and  or  not 
• 文本表达式

通式，和上面概念不同体系，是指有个项目时，用一个式子表示所有项得规律

1.1.2 编程上得表达式

• 编程上，表达式就是一个计算式子吧
• 表达式如果是赋值得，也可以是一条语句

1.1.3 表达式都是函数，可视为函数

• 表达式都是函数，因为有输入，有输出

1.2 单项式

• 单项式就是，表达式里只有1项目
• 一般是一个单独得数字*变量等得乘积
• 单项式就是，不包含 +-%/运算符合

1.3 多项式

• 在数学中，多项式（polynomial）是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、幂运算（非负整数次方）得到的表达式    
• 多项式包含符号    
• 一般多项式    ax+by+cz  或  ax^2+by+c
• 多项式得项，一般需要先进行同类型合并，比如(a+b)^n 不合并是2n项，合并后n+1项
• 多项式的次，是最高的项的次，比如 x^3+2x^2+1 就是1个3次多项式

                    
1.3.1  二项式                

• 二项式，只能算一种特殊得多项式（2个项）
• 一般二项式  ： ax+b    
• n次二项式    ：   (a+b)^n    

                    
                    
2 二项式定理

2.1 二项式展开定理        

• 二项式定理是牛顿发明得展开式
•  (a+b)^n    =    C(n,0)*a^n*b^0 +C(n,1)*a^n-1*b^1 +… +C(n,n)*a^0*b^n
• 通项    C(n,k)*a^n-k*b^k      

2.2 二项式定理的各种推论                

2.2.1  二项式系数之和 =2^n的展开式        

• (a+b)^n    =    C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^n-1*b^1+…+C(n,n)*a^0*b^n
•  当 a=1,b=1    (a+b)^n    =    C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)
• 用展开式取特殊值就证明了
• 2^n    =    C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)

2.2.2  二项式系数奇数项之和  = 奇数项之和=2^(n-1) 

• 当 a=-1,b=1
•  (a+b)^n   =    C(N,0)-C(N,1)+…+C(N,n)
•                 =    0
•  从而有   C(N,0)+C(N,2)+C(N,4)+C(N,6)+…=    C(N,1)+C(N,3)+C(N,5)+C(N,7)+…
• 从而有  2^n/2 =C(N,0)+C(N,2)+C(N,4)+C(N,6)+…=    C(N,1)+C(N,3)+C(N,5)+C(N,7)+…
• 从而有  2^(n-1) =C(N,0)+C(N,2)+C(N,4)+C(N,6)+…=    C(N,1)+C(N,3)+C(N,5)+C(N,7)+…  
  
               

2.2.3 这个序列的增减性和最大值

• 先增后减
• 中间的值最大（或者中间的2项都是最大）

2.2.4 这个序列的更多规律，参见杨辉三角

3 二项式的其他展开

3.1 二项式的手动展开

回到行列数，矩阵的基本计算

        (a+b)^2    
    =    (a+b)(a+b)    
    =    a*(a+b)+b*(a+b)    
    =    a^2+2ab+b^2    
            
        (a+b)^3    
    =    (a+b)^2*(a+b)    
    =    (a+b)*(a^2+2ab+b^2)    

    =     a^3+3ab^2+3a^2b+b^3
 

3.2 二项式的矩阵形式

得复习线性代数了。。。

3.3  用排列组合知识来理解 二项式和 二项式系数

• 比如对通项    C(n,k)*a^n-k*b^k    
• 可以理解为从 a^n-k*b^k  有 c(n,k)种选择方法，且不排序    
• 选择方法有   C(n,k)        

3.4 还可以通过，画树状图来理解

• 第1步，4
• 第2步，3
• 第3步，2
• 这个就是 C(n,k) = n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)