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最优化方法概述

2022-08-03 05:24:00 【Liu_Qingli】

最优化方法概述

什么是最优化（What）

最优化是从所有可能方案中选择最合理的一种，以达到最优目标的学科

  1. 最优方案： 达到最优目标的方案；
  2. 最优方法： 搜索最优方案的方法；
  3. 最优理论： 研究最优化方法的理论。

为什么学习最优化（Why）

在实际工程问题中，往往设计工程师需要获得机器或产品的最佳性能，希望结构更紧凑，用料最省，成本最低。在实际生活中，往往希望用时最短，路径最短，效率最高，消耗最少，利润更高等等。最优化理论与生俱来的，与“最”字息息相关。无论是科学家还是工程师，面对研究对象的不确定性，追求极致完美是最优化理论发展的源泉和动力。

怎样解决最优化问题（How）

解决最优化问题的基本思路：

  1. 优化问题的三要素：目标函数、设计变量、约束条件；
  2. 核心方法：工程问题→数学问题→数学建模问题；
  3. 总体思路：X=[x1，x2，…，xn]T → minf(X)/maxf(X)；
  4. 数学方法：图解法和迭代法

最优化方法的特点（Study）

江畔独步寻花 — 杜甫
黄四娘家花满蹊，千朵万朵压枝低。
留连戏蝶时时舞，自在娇莺恰恰啼。
联想：寻优思想与诗人情怀

最优化方法的特点：

  1. 基本套路：提出问题→分析问题→解决问题；
  2. 计算机编程工具：C、Python、Matlab、Maple等；
  3. 变量个数往往大于1：X=[x1，x2，…，xn]T → minf(X)/maxf(X)；
  4. 全面思维训练：
    （1）思想：至真至简，明辨因果
    （2）思路：数学寻优，极大极小
    （3）方法：数学、几何学、工程学与计算机编程的完美结合

最优化问题的数学描述

  1. minf(x1,x2,…,xn)
    [x1,x2,…,xn]T ∈ \in ∈Rn
    subject to
    gi(x1,x2,…,xn) ≥ \geq ≥ 0 (i=1,2,…,p)
    hj(x1,x2,…,xn) = 0 (j=1,2,…,m) (m<n)
  2. minf(X)
    X= [x1,x2,…,xn]T ∈ \in ∈Rn
    s.t.
    gi(X) ≥ \geq ≥ 0 (i=1,2,…,p)
    hj(X) = 0 (j=1,2,…,m) (m<n)
  3. minf(X)
    X= [x1,x2,…,xn]T ∈ \in ∈Rn
    s.t.
    Gi(X) ≥ \geq ≥ 0 G(X)=[ g1(x),g2(x),…,gp(x)]T
    Hj(X) = 0 H(X)=[ h1(x),h2(x),…,hm(x)]T
  4. minf(X)
    X ∈ \in ∈Rn
    s.t.
    Ci(X) ≥ \geq ≥ 0 i ∈ \in ∈I (i=1,2,…,p)
    Ci(X) = 0 i ∈ \in ∈E (i=p+1,p+2,…,p+m)

几点补充说明

  1. 最优化本质：求极大值或极小值
    max f(x) 等价于 min(-f(x))
    gi(X) ≤ \leq ≤ 0 等价于 - gi(X) ≥ \geq ≥ 0
  2. 维度n：变量数目多，从几百到几千甚至上万
  3. 工程师要学会“耍赖”：目标函数的精确解与近似解
  4. 基本方法：图解法和迭代法
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