【Matlab】多项式计算

多项式计算

多项式的表示

Matlab中用一个长度为$n+1$的行向量表示一个$n$次多项式，向量中第一项表示$n$次项，第二项表示$n-1$次项，……，最后一项即$n+1$项表示$0$次项。

注意，有的项没有则系数补0。

多项式的四则运算

多项式的加减运算，即向量的加减运算；注意进行多项式加减法时，要保证两个向量长度一致，而乘除则不用保证。

多项式的乘运算，P = conv(p1, p2)：p1和p2为相乘多项式的系数向量，P为结果多项式的系数向量。

多项式的除运算，[Q r] = deconv(p1, p2)：Q为p1除以p2的商式，r为余式，Q和r仍为系数向量；存在关系：p1 = conv(p2, Q) + r。

f=[3,-5,0,-7,5,6];g=[3,5,-3];g1=[0,0,0,g];
f+g1
f-g1
conv(f, g)
[Q r] = deconv(f, g)
conv(g, Q)+r

结果如下：

ans =
     3    -5     0    -4    10     3
ans =
     3    -5     0   -10     0     9
ans =
     9     0   -34    -6   -20    64    15   -18
Q =
    1.0000   -3.3333    6.5556  -16.5926
r =
         0         0         0         0  107.6296  -43.7778
ans =
    3.0000   -5.0000         0   -7.0000    5.0000    6.0000

多项式的求导

p=polyder§：求多项式P的导函数。

p=polyder(P, Q)：求P·Q的导函数。

[p q]=polyder(P, Q):求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。

a=[3 1 0 -6];
b=[1 2];
polyder(a)
c = polyder(a, b) % 等价于d = conv(a, b);polyder(d)
[p q] = polyder(a, b) % 除法不存在等价形式

结果如下：

ans =
     9     2     0
c =
    12    21     4    -6
p =
     6    19     4     6
q =
     1     4     4

多项式的求值

polyval(p, x)：p为多项式系数向量，x为数值、向量或矩阵，进行的点运算，求出x对应点在多项式上对应的值。

polyvalm(p, x)：p为多项式系数向量，x为方阵，进行矩阵运算，求出方阵x代入多项式后求出的方阵（m为matrix）。

a=[1,8,0,0,-10];
x=[-1,1.2;2,-1.8];
y1=polyval(a,x)
y2=polyvalm(a,x)

结果如下：

y1 =

  -17.0000    5.8976
   70.0000  -46.1584

y2 =

  -60.5840   50.6496
   84.4160  -94.3504

多项式求根

roots§：求多项式p的全部根，包括实根和虚根。相当于已知多项式求根。

poly(x)：x为多项式全部的根，此函数返回根为x的多项式系数向量。相当于已知根求多项式。

多项式积分

polyint(p, k)：其中p是多项式系数组成的行向量，k是一个标量。这个函数的作用是对多项式p进行积分，把k作为积分后的常数项（因为对多项式积分后常数项不确定）。k省略时默认为0。

p = [1 1];    % p=x+1
k1 = polyint(p)
k1 = 0.5 1 0    % 积分结果为 0.5x^2 + x，常数项默认为0
k = 1;
k2 = polyint(p,k)
k2 = 0.5 1 1    % 积分结果为 0.5x^2 + x + 1，常数项为k，即1

$${\int }_{-1}^3{x}^2+4x-5dx$$

p = [1, 4, -5];
p1 = polyint(p, 5); % 常数项为5
a = -1;
b = 3;
val = diff(polyval(p1, [a, b])) % diff 逐位相减