高等数学（第七版）同济大学 习题2-1 个人解答

高等数学（第七版）同济大学 习题2-1

 

$\begin{array}{rlr}& 1.设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0,t]上转过角度\theta ，从而转角\theta 是t的函数：\theta =\theta (t)，& \\ & & \\ & 如果旋转是匀速的，那么称\omega =\frac{\theta }{t}为该物体旋转的角速度。如果旋转是非匀速的，& \\ & & \\ & 应怎样确定该物体在时刻t_0的角速度？& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 取时间变化量\Delta t为t_0到某一时刻的变化，则物体在时间间隔[t_0,t_0+\Delta t]上的平均角速度\overline{\omega }=\frac{\Delta \theta }{\Delta t}=\frac{\theta (t_0+\Delta t)-\theta (t_0)}{\Delta t}，& \\ & & \\ & 该物体在时刻t_0的角速度为\omega =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\overline{\omega }=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \theta }{\Delta t}={\theta }^{\prime }(t_0)& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 2.当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却。若物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t)，& \\ & & \\ & 应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度？& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 取时间变化量\Delta t为t到某一时刻的变化，则物体在时间间隔[t,t+\Delta t]上的平均冷却速度\overline{v}=\frac{\Delta T}{\Delta t}=\frac{T(t+\Delta t)-T(t)}{\Delta t}.& \\ & & \\ & 物体在时刻t的冷却速度v=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta T}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{T(t+\Delta t)-T(t)}{\Delta t}=T^{\prime }(t).& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 3.设某工厂生产x件产品的成本为C(x)=2000+100x-0.1x^2(元)，这函数C(x)称为成本函数，& \\ & & \\ & 成本函数C(x)的导数C^{\prime }(x)在经济学中称为边际成本，试求& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1)当生产100件产品时的边际成本；& \\ & & \\ & (2)生产第101件产品的成本，并与(1)中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (1)因为成本函数C(x)=2000+100x-0.1x^2，边际成本为成本函数的导数，即C^{\prime }(x)=100-0.2x，& \\ & & \\ & 所以当生产100件产品时的边际成本为C^{\prime }(100)=100-0.2\times 100=80。& \\ & & \\ & (2)C(100)=2000+100\times 100-0.1\times 100^2=11000& \\ & & \\ & C(101)=2000+100\times 101-0.1\times 101^2=11079.9& \\ & & \\ & C(101)-C(100)=79.9，生产第101件产品的成本为79.9，与(1)中求得的边际成本比较，& \\ & & \\ & 可以看出边际成本C^{\prime }(x)的实际意义时近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本。& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 4.设f(x)=10x^2，试按定义求f^{\prime }(-1).& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{10(x+\Delta x{)}^2-10x^2}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{10\Delta x^2+20x\Delta x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(10\Delta x+20x)=20x，& \\ & & \\ & 所以f^{\prime }(-1)=-20。& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 5.证明(cosx{)}^{\prime }=-sinx& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (cosx{)}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{cos(x+\Delta x)-cosx}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{cosxcos\Delta x-sinxsin\Delta x-cosx}{\Delta x}=& \\ & & \\ & \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(cosx\frac{cos\Delta x-1}{\Delta x}-sinx\frac{sin\Delta x}{\Delta x}\right)=-sinx& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 6.下列各题中均假定f^{\prime }(x_0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1)\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0-\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=A；& \\ & & \\ & (2)\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=A，其中f(0)=0，且f^{\prime }(0)存在；& \\ & & \\ & (3)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=A& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (1)\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0-\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=-\underset{-\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0)+(-\Delta x))-f(x_0)}{-\Delta x}=-f^{\prime }(x_0)=A& \\ & & \\ & (2)因为f(0)=0，\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime }(0)& \\ & & \\ & (3)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\left[\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-\frac{f(x_0)-h)-f(x_0)}{h}\right]=& \\ & & \\ & \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+\underset{-h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+(-h))-f(x_0)}{-h}=2f^{\prime }(x_0)& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 7.设f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}{x}^3，x\le 1，\\ \\ x^2，x>1，则f(x)在x=1处的()\end{array}& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (A)左、右导数都存在(B)左导数存在，右导数不存在& \\ & & \\ & (C)左导数不存在，右导数存在(D)左、右导数都不存在& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& f_{-}^{\prime }(1)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\frac{2}{3}{x}^3-\frac{2}{3}}{x-1}=\frac{2}{3}\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^3-1}{x-1}=\frac{2}{3}\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x^2+x+1)=2；& \\ & & \\ & f_{+}^{\prime }(1)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2-\frac{2}{3}}{x-1}=\infty & \\ & & \\ & 函数左导数存在，右导数不存在，选B。& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 8.设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的()& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (A)充分必要条件(B)充分条件但非必要条件& \\ & & \\ & (C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& F_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)(1+sinx)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left[\frac{f(x)-f(0)}{x}+f(x)\frac{sinx}{x}\right]=f^{\prime }(0)+f(0)，& \\ & & \\ & F_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)(1-sinx)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left[\frac{f(x)-f(0)}{x}-f(x)\frac{sinx}{x}\right]=f^{\prime }(0)-f(0).& \\ & & \\ & 当f(0)=0时，F_{+}^{\prime }(0)=F_{-}^{\prime }(0)，当F_{+}^{\prime }(0)=F_{-}^{\prime }(0)时，f(0)=0，所以是充分必要条件，选A& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 9.求下列函数的导数：& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1)y=x^4；(2)y=\sqrt[3]{x^2}；(3)y=x^{1.6}；& \\ & & \\ & (4)y=\frac{1}{\sqrt{x}}；(5)y=\frac{1}{x^2}；(6)y=x^3\sqrt[5]{x}；& \\ & & \\ & (7)y=\frac{x^2\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x^5}}& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (1)y^{\prime }=4x^3& \\ & & \\ & (2)y=x^{\frac{2}{3}}，y^{\prime }=\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}& \\ & & \\ & (3)y=x^{\frac{8}{5}}，y^{\prime }=\frac{8}{5}{x}^{\frac{3}{5}}& \\ & & \\ & (4)y=x^{-\frac{1}{2}}，y^{\prime }=-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}& \\ & & \\ & (5)y=x^{-2}，y^{\prime }=-2x^{-3}& \\ & & \\ & (6)y=x^{\frac{16}{5}}，y^{\prime }=\frac{16}{5}{x}^{\frac{11}{5}}& \\ & & \\ & (7)y=\frac{x^{\frac{8}{3}}}{x^{\frac{5}{2}}}=x^{\frac{1}{6}}，y^{\prime }=\frac{1}{6}{x}^{-\frac{5}{6}}& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 10.已知物体的运动规律为s=t^{3}m，求这物体在t=2s时的速度。& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& v=\frac{ds}{dt}=3t^2，v{|}_{t=2}=12& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 11.如果f(x)为偶函数，且f^{\prime }(0)存在，证明f^{\prime }(0)=0.& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& f(x)为偶函数，有f(-x)=f(x)，f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(-x)-f(0)}{x-0}=\underset{-x\to 0}{\lim }\frac{f(-x)-f(0)}{-x-0}=-f^{\prime }(0)，& \\ & & \\ & 所以f^{\prime }(0)=0& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 12.求曲线y=sinx在具有下列横坐标的各点处切线的斜率：x=\frac{2}{3}\pi ，x=\pi .& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& x=\frac{2}{3}\pi 时，斜率k=y^{\prime }{|}_{x=\frac{2}{3}\pi }=cosx{|}_{x=\frac{2}{3}\pi }=-\frac{1}{2}& \\ & & \\ & x=\pi 时，斜率k=y^{\prime }{|}_{x=\pi }=cosx{|}_{x=\pi }=-1& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 13.求曲线y=cosx上点\left(\frac{\pi }{3},\frac{1}{2}\right)处的切线方程和法线方程。& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& y^{\prime }{|}_{x=\frac{\pi }{3}}=-sinx{|}_{x=\frac{\pi }{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}，切线方程为y-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x-\frac{\pi }{3}\right)，\frac{\sqrt{3}}{2}x+y-\frac{1}{2}\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\pi \right)=0。& \\ & & \\ & 法线方程为y-\frac{1}{2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{\pi }{3}\right)，\frac{2\sqrt{3}}{3}x-y+\frac{1}{2}-\frac{2\sqrt{3}}{9}\pi =0.& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 14.求曲线y=e^x在点(0,1)处的切线方程。& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& y^{\prime }{|}_{x=0}=e^x{|}_{x=0}=1，切线方程为y-1=x-0，x-y+1=0。& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 15.在抛物线y=x^2上取横坐标为x_1=1及x_2=3的两点，作过这两点的割线。& \\ & & \\ & 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 割线斜率k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{3^2-1^2}{3-1}=4。假设抛物线上点(x_0,y_0)处的切线平行于该割线，& \\ & & \\ & y_0=x_0^2，y_0^{\prime }=2x_0=4，x_0=2，y_0=4，得抛物线上点(2,4)平行于割线。& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 16.讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性：& \end{array}$

$\begin{array}{rlr}& (1)y=|sinx|；& \\ & & \\ & (2)y=\{\begin{array}{l}{x}^{2}sin\frac{1}{x}，x\ne 0，\\ \\ 0，x=0.\end{array}& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& (1)\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }|sinx|=0=f(0)，所以y=|sinx|在x=0处连续。& \\ & & \\ & f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-sinx}{x}=-1，f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{sinx}{x}=1，& \\ & & \\ & f_{-}^{\prime }(0)\ne f_{+}^{\prime }(0)，所以y=|sinx|在x=0处不可导。& \\ & & \\ & (2)\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }{x}^{2}sin\frac{1}{x}=0=f(0)，所以函数在x=0处连续。& \\ & & \\ & f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^{2}sin\frac{1}{x}}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }xsin\frac{1}{x}=0，所以函数在x=0处可导。& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 17.设函数f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2，x\le 1，\\ \\ ax+b，x>1.\end{array}为了使函数f(x)在x=1处连续且可导，a、b应取什么值？& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 要使函数f(x)在x=1处连续，应有\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=f(1)，即a+b=1。& \\ & & \\ & 要是函数f(x)在x=1处可导，应有f_{-}^{\prime }(1)=f_{+}^{\prime }(1).& \\ & & \\ & f_{-}^{\prime }(1)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}-2，f_{+}^{\prime }(1)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{ax+b-1}{x-1}=& \\ & & \\ & \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{a(x-1)+a+b-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{a(x-1)}{x-1}=a，得a=2，b=-1。& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 18.已知f(x)=\{\begin{array}{l}-x，x<0，\\ \\ x^2，x\ge 0，\end{array}求f_{+}^{\prime }(0)及f_{-}^{\prime }(0)，又f^{\prime }(0)是否存在？& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-x-0}{x}=-1，& \\ & & \\ & f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2-0}{x}=0。因为f_{-}^{\prime }(0)\ne f_{+}^{\prime }(0)，所以f^{\prime }(0)不存在。& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 19.已知f(x)=\{\begin{array}{l}sinx，x<0，\\ \\ x，x\ge 0，\end{array}求f^{\prime }(x).& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{sinx}{x}=1，& \\ & & \\ & f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-1}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x}{x}=1。& \\ & & \\ & 因为f_{-}^{\prime }(0)=f_{+}^{\prime }(0)=1，所以f^{\prime }(0)=1，f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{l}cosx，x<0，\\ \\ 1，x\ge 0.\end{array}& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 20.证明：双曲线xy=a^2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a^2。& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 设点(x_0,y_0)为双曲线xy=a^2上任一点，y=\frac{a^2}{x}，该点的切线斜率k=y^{\prime }={\left(\frac{a^2}{x}\right)}^{\prime }{|}_{x=x_0}=-\frac{a^2}{x_0^2}，& \\ & & \\ & 切线方程为y-y_0=-\frac{a^2}{x_0^2}(x-x_0)，\frac{x}{x_0}+\frac{y}{y_0}=2，切线与两坐标轴构成的三角形面积S=\frac{1}{2}|2x_0||2y_0|=2a^2。& \end{array}$