极限导论总结

1极限基本概念

当函数y=f(x),x轴上有一个点a，当x非常接近a，但又不等于a时，y应该是什么样的？
比如：

y=x,x不等于1

这个函数的图形是第1、3象限的中分线，但是在（1，1）上是空的。
那么，可以想象当x非常接近1,y是多少？

想要解决这个问题，很明显，代入函数，y=x=1,但这是毫无意义的，因为，x！=1
但是话又说回来，我们让x=0.9999999，会发现y=0.9999999，让x=1.0000001，y则会=1.0000001，也就是说，函数y=x在x=1附近的时候，其值真的会趋近于1，这是一个很重要的概念，我们讲极限极限，讲的是趋近，而不是等于。
极限公式如下：

$$\underset{x\to 1}{\lim }x=1;当x!=1$$

强调，上述中的=，不是等于，而是趋近。

2极限的值

我们把y=x;x!=1变换下：

y=x;当x=1，y=2

现在函数的图像这个函数的图形是第1、3象限的中分线，在（1，1）上是空的，在（1，2）上是实心的。

那么，当x非常接近1，趋近于多少呢？
我们这一个函数和上一个函数不同的是，在x=1的时候，本函数是有意义的，当x=1，y=2.
那么当x在1附近时，y趋近于2吗？当然不是，通过观察图像，我们得知，尽管（1，1）不存在，而（1，2）存在，可就趋近来说，当x在1附近时，函数y实际上是趋近于1的。

$$\underset{x\to 1}{\lim }x=1$$
所以函数y在x=a时的极限值和x=a时的值有时候并没有什么关系。

3左极限和右极限

现在有函数$y=1/x$如下图

当x=0的时候，y的极限是什么呢？
本函数有左右两个部分，看图可以得知，在0的附近，左侧的一部分，会越来越趋向于$-\infty$,而右侧的部分，会趋向于$+\infty$
他们的极限值却不一样，我们可以这样写：
$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }y=-\infty 和\underset{x\to 0^{+}}{\lim }y=\infty$$
0后面的减号和加号分别代表左右极限。
但绝不能这样写：${\lim }_{x\to 0}y=\infty$
因为这代表着左右极限都是正无穷，这明显不符合该函数，我们可以说${\lim }_{x\to 0}y不存在$

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所以上面第二小节的函数

y=x;当x=1，y=2

的当x=1时的极限也可以这样写：
$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=1和\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=1$$
这代表着左极限和右极限都是1，这和${\lim }_{x\to 1}y=1$ 是等价的

4没有极限

有函数会完全没有极限吗？有的，我们来看一个函数

y=sin(1/x)，当x趋于0时，y没有极限

可以看到图像上，当x无论是从右侧还是左侧向0移动的时候，图像震动地越来越快，当x越趋近于0，y不趋近于任何值，量子叠加吗？这个函数就是在x趋于0的时候没有极限的。

5 $-\infty 和\infty$处的极限

我们有时候会对，当x趋于正无穷或者负无穷时，y的极限的问题感兴趣。
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=L或者\underset{x\to \infty }{\lim }y=L$$
比如第4节的函数图，可以看出
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=0以及\underset{x\to \infty }{\lim }y=0$$

6 三明治定理（夹逼定理）

这尼玛这个名字，还记得高中时，学到这章的时候，全班哄堂大笑，再回首已经十来年了。

定理：如果一个函数y被夹在函数g和函数h中间，当x趋向a的时候，这两个函数g和h都收敛于同一个极限L，那么y也必然在x趋向a的时候，也收敛于极限L
什么都不如看图，两张图带你了解那啥定理。

本图是g夹在h和f中间，都收敛于L

本图式y=xsin(1/x)夹在y=x和y=-x中间，在x趋向于0的时候，都收敛于0