【593. 有效的正方形】

来源：力扣（LeetCode）

描述：

给定2D空间中四个点的坐标 p1, p2, p3 和 p4，如果这四个点构成一个正方形，则返回 true 。

点的坐标 pi 表示为 [xi, yi] 。输入 不是 按任何顺序给出的。

一个 有效的正方形 有四条等边和四个等角(90度角)。

示例 1:

输入: p1 = [0,0], p2 = [1,1], p3 = [1,0], p4 = [0,1]
输出: True

示例 2:

输入：p1 = [0,0], p2 = [1,1], p3 = [1,0], p4 = [0,12]
输出：false

示例 3:

输入：p1 = [1,0], p2 = [-1,0], p3 = [0,1], p4 = [0,-1]
输出：true

提示:

• p1.length == p2.length == p3.length == p4.length == 2
• -10⁴ <= xi, yi <= 10⁴

方法：数学

思路与算法

正方形判定定理是几何学里用于判定一个四边形是否为正方形的判定定理。判别正方形的一般顺序为先说明它是平行四边形；再说明它是菱形（或矩形）；最后说明它是矩形（或菱形）。那么我们可以从枚举四边形的两条斜边入手来进行判断：

1. 如果两条斜边的中点相同：则说明以该两条斜边组成的四边形为「平行四边形」。
2. 在满足「条件一」的基础上，如果两条斜边的长度相同：则说明以该两条斜边组成的四边形为「矩形」。
3. 在满足「条件二」的基础上，如果两条斜边的相互垂直：则说明以该两条斜边组成的四边形为「正方形」。

代码：

class Solution {
    
public:
    bool checkLength(vector<int>& v1, vector<int>& v2) {
    
        return (v1[0] * v1[0] + v1[1] * v1[1]) == (v2[0] * v2[0] + v2[1] * v2[1]);
    }

    bool checkMidPoint(vector<int>& p1, vector<int>& p2, vector<int>& p3, vector<int>& p4) {
    
        return (p1[0] + p2[0]) == (p3[0] + p4[0]) && (p1[1] + p2[1]) == (p3[1] + p4[1]);
    }

    int calCos(vector<int>& v1, vector<int>& v2) {
    
        return (v1[0] * v2[0] + v1[1] * v2[1]) == 0;
    }

    bool help(vector<int>& p1, vector<int>& p2, vector<int>& p3, vector<int>& p4) {
    
        vector<int> v1 = {
    p1[0] - p2[0], p1[1] - p2[1]};
        vector<int> v2 = {
    p3[0] - p4[0], p3[1] - p4[1]};
        if (checkMidPoint(p1, p2, p3, p4) && checkLength(v1, v2) && calCos(v1, v2)) {
    
            return true;
        } 
        return false;
    }

    bool validSquare(vector<int>& p1, vector<int>& p2, vector<int>& p3, vector<int>& p4) {
    
        if (p1 == p2) {
    
            return false;
        }
        if (help(p1, p2, p3, p4)) {
    
            return true;
        }
        if (p1 == p3) {
    
            return false;
        }
        if (help(p1, p3, p2, p4)) {
    
            return true;
        }
        if (p1 == p4) {
    
            return false;
        }
        if (help(p1, p4, p2, p3)) {
    
            return true;
        }
        return false;
    }
};

执行用时：4 ms, 在所有 C++ 提交中击败了75.76%的用户
内存消耗：25.8 MB, 在所有 C++ 提交中击败了69.97%的用户
复杂度分析
时间复杂度：O(1)。
空间复杂度：O(1)，仅使用常数变量。