积分专题笔记-积分的定义

一、定积分

$f(x)$​ 定义在 $[a,b]$​，任分 $[a,b]$​ 为小区间, 分点$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_n=b$​，称为 $[a,b]$​​​ 的一个分划.

若 $\exists I\in \mathbf{R}$​​​, 对 $[a,b]$​​​ 的任何分划和 $\forall {\xi }_i\in \left[x_{i-1},x_i\right]$​​​ 所作和 $\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i$​​​，均有

$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i=I\left(\lambda =\underset{1\le i\le n}{\max }\Delta x_i\right)$，

则称 $f(x)$​​​ 在 $[a,b]$​​​ 可积，记为 $f\in R[a,b]$，$I$​ 称为 $f(x)$​ 在 $[a,b]$​ 的定积分，记为 $I={\int }_a^{b}f(x)dx$​​​ .

对于定积分 $I={\int }_a^{b}f(x)dx$​，$b$​​ 称为积分上限，$a$​ 称为积分下限，$x$​ 称为积分变量，$dx$​​ 称为积分微元.

二、二重积分

设 $D$ 是 $xOy$ 平面的有界闭区域，函数 $z=f(x,y)$ 在 $D$ 定义，$I$ 为实数，

若用若干条曲线将 $D$ 任意划分成个小区域 $\Delta D_1,\Delta D_2,\cdots ,\Delta D_n$，

任取 $\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\in \Delta D_i(i=1,2,\cdots ,n)$，$\Delta {\sigma }_i$ 表示 $\Delta D_i$ 的面积，

$f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i$ 称为积分元，对积分元作和得到如下积分和式： $\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i$

记 $\lambda =\underset{1\le i\le n}{\max }\left\{d_i\right\}$，$d_i$ 是小区域 $\Delta D_i$ 的直径，若总有： $\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i=I$

则称函数 $z=f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上可积，$I$ 称为$z=f(x,y)$ 在 $D$ 的二重积分，记为 $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma$ .

其中，$\iint -$ 二重积分号，$D-$ 积分区域，$f(x,y)-$被积函数，

$x,y-$积分变量，$f(x,y)d\sigma -$被积表达式，$d\sigma -$面积元素 (面积微元) 。

若函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 上可积，则 $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i=I$。

关于定义中“总有”的含义：

对于所有小区域所取点的函数值，作和取极限都得到唯一存在且确定的数 $I$，

且极限 $I$ 的取值与区域分割方法和区域内点 $\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)$ 的取法均无关。

三、三重积分

设 $\Omega$ 是 $R^3$ 中的有界闭区域，函数 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上定义，$I$ 为实数，若将区域 $\Delta {\Omega }_1,\Delta {\Omega }_2,\cdots ,\Delta {\Omega }_n$，任取 $\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\in \Delta {\Omega }_i$，

作和 $\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\Delta V_i(\Delta V_i是\Delta {\Omega }_i的体积)$，总有下列极限存在且唯一（与立体的分法和点的取法无关）:

$\underset{i\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\Delta V_i=I$ ( 其中 $\lambda =\underset{1\le i\le n}{\max }\left\{d_i\right\},d_i$ 是小区域 $\Delta {\Omega }_i$ 的直径 )，

则称函数 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 可积，$I$ 称为 $f$ 在 $\Omega$ 的三重积分，记为： $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV(dV-体积元素)$

若 $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV$ 存在，则 $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dxdydz$

四、第一类曲线积分

设 $f(x,y,z)$ 在有界曲面 $\Sigma$ 上有定义且有界，若 $\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\Delta S_i$ 极限存在且唯一，

该极限值称为 $f(x,y,z)$ 在有界曲面 $\Sigma$ 上的第一类曲面积分，又称数量值函数曲面积分。

称 $f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上可积，记作 ${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS$ 。即：
$$\underset{\Sigma }{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\Delta S_i$$
否则称 $f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上不可积。

极限存在且唯一的含义：和式极限值与曲面的分割方法和曲面上取点方式均无关。

五、第一类曲面积分

设 $f(x,y,z)$ 在有界曲面 $\Sigma$ 上有定义且有界，若 $\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\Delta S_i$ 极限存在且唯一，

该极限值称为 $f(x,y,z)$ 在有界曲面 $\Sigma$ 上的第一类曲面积分，又称数量值函数曲面积分。

称 $f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上可积，记作 ${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS$ 。即：
$$\underset{\Sigma }{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\Delta S_i$$
否则称 $f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上不可积。

极限存在且唯一的含义：和式极限值与曲面的分割方法和曲面上取点方式均无关。

六、第二类曲线积分

设向量 $\vec{A}(P)$ 在有界光滑曲线 ${\Gamma }_{AB}$ 上有定义，且有界（ $\vec{A}(P)$ 的分量是有界函数），

$\overrightarrow{T^0}(P)$ 表示曲线 ${\Gamma }_{AB}$ 上点 $P$ 处的切线的单位向量且与指定的方向（由 $A$ 到 $B$ ）一致。

若第一类曲线积分 ${\int }_{{\Gamma }_{AB}}(\vec{A}(P)\cdot \overrightarrow{T^0}(P))ds$ 存在，该积分的值称为向量 $\vec{A}(P)$ 沿曲线 ${\Gamma }_{AB}$ 由 $A$ 到 $B$ 的第二类曲线积分，又称向量值函数曲线积分。

七、第二类曲面积分

设 $\Sigma$ 是有界分片光滑曲面，$\vec{A}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}$，

定义在 $\Sigma$ 上的向量且有界 ( $P,Q,R$ 有界)，$(x,y,z)\in \Sigma$ 处的单位法向量，

$\overrightarrow{n^0}(x,y,z)=\{\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \}$ 与指定的侧一致，若 $\underset{\Sigma }{\iint }(\vec{A}\cdot \overrightarrow{n^0})dS$ 存在，

该积分值称为 $\vec{A}$ 沿曲面 $\Sigma$ 指定侧的第二类曲面积分或向量值曲面积分。

八、各种积分的别称

第一类曲线积分也称数量值函数的曲线积分、对弧长的曲线积分。

第一类曲面积分也称数量值函数的曲面积分、对面积的曲面积分。

第二类曲线积分也称向量值函数的曲线积分、对坐标的曲线积分。

第二类曲面积分也称向量值函数的曲面积分、对坐标的曲面积分。