【TA-霜狼_may-《百人计划》】1.2.1 向量基础

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1.2.1.1 向量

向量的定义

• 向量是有大小和方向的有向线段
• 向量没有位置
• 向量的箭头是向量的结束，向量的尾是向量的开始
• 向量描述的位移可以被认为是与轴平行的位移序列
• 向量的表示：三维（ax，ay，az）例如（1，-5，7）

向量与标量

向量：有大小有方向
标量：只有大小没有方向

向量与点

向量和点的数学形式相同，但几何意义完全不同
点：只包含位置信息
向量：没有位置信息，但是有实际的大小和方向信息

联系：任何一个点都可以看做从原点出发的一个向量

零向量

• 零向量是唯一大小为零的向量
• 零向量是唯一一个没有方向的量
• 零向量不是一个点，因为零向量没有定义某个位置
• 零向量表示的是没有唯一，就像零标量是表示的没有数量一样

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1.2.1.2 计算

标量与向量的计算

• 没有加法
• 没有减法
• 乘法：将向量的每个分量都与标量相乘
• 除法：等同于乘以标量的倒数

向量的模长

• 计算公式：||v|| = √vx²+vy²
• 几何解释：以向量作为斜边构建一个直角三角形，所示向量的大小（模长）可以由勾股定理求得

标准化向量

• 标准化向量（单位向量）就是模长为1的向量。（仅需知道方向，应用：法线）
• 运算法则：将向量的各个分量除以模长

向量与向量的加减法

• 计算公式：（ax，ay）±（bx，by） = （ax+bx，ay+by）
• 对应位置的加减法
• 几何解释：各个方向上位移的叠加

计算两点间距离

• 计算公式：（a,b）= ||b-a|| = √（bx-ax）²+（by-ay）²
• 更高空间依次类推
• 应用范围：计算一个向量到另一个向量的距离（a到b的位移向量为b-a）

向量的点积运算

• 计算公式：（ax,ay）·（bx，by）=（axbx+ayby）
• 向量点乘就是分量乘积的和，满足交换律
• 几何解释：点乘结果描述了两个向量的“相似”程度，点乘结果越大，夹角角度越小，两个向量越接近。

投影

• 一个向量在另一个向量上的投影长度

兰伯特光照模型

兰伯特光照模型是目前最简单应用的模拟漫反射的光照模型。
设：光照方向的反方向为L向量，发现方向为N向量，则有：

• L与N方向相同时：Nor·Light = 1（纯亮）
• L与N方向相反时：Nor·Light = -1（纯暗）
• L与N方向垂直时：Nor·Light = 0（纯暗）

向量的叉积运算

仅运用于3D向量，计算公式如图：

不满足交换律，但是满足逆交换律：
a X b ≠ b X a
a X b = - (b X a)

• 向量叉乘就是分量交叉相乘再相减，结果为一个向量。
• 几何解释：叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量。

叉积的大小和方向判定

计算公式如图：

方向遵循左手坐标系，当起点重合时，由a向量转向b向量，大拇指的方向即为结果的方向。