math_利用微分算近似值

微分的应用

$$\begin{gathered} \Delta x\to 0时, \\ 我们可以以切线代替曲线 \\ 以微分dy代替\Delta y(函数微分代替函数增量) \\ \Delta y\approx dy \\ dy=y^{\prime }dx=f^{\prime }(x)dx \end{gathered}$$

近似值

• 即使是同一个函数,不同点上的函数值的计算难易程度不尽相同

• 例如函数sin(x),在

  • $$sin(30°)=sin(\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}$$

    而
    $$sin(33°)$$

    的求值就会麻烦

  • $$\begin{gathered} f=(x)=f(x_0+\Delta x)=sin(x_0+\Delta x); \\ x=x_0+\Delta x \\ {x}_0=30°;\Delta x=3° \end{gathered}$$

• 实际应用中,场景包括

  • 估算函数值增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$,($\Delta y$更具体的,记作:$\Delta y(x_0,\Delta x))$)

    • 设估算函数增量$\Delta y$的函数为$dy(x_0,\Delta x)=f^{\prime }(x_0)\Delta x$,

    • 从程序设计的角度讲,这是一个双参数函数,$\Delta y函数接受两个常数参数:x_0,\Delta x;返回值是f(x_0+\Delta x)-f(x_0)的近似值$

      • 要求,$\Delta x$足够小,则返回结果是有效且可靠的

    • $$\begin{gathered} 一般地,\Delta y(x,\Delta x)=f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime }(x)\Delta x+o(\Delta x)\approx f^{\prime }(x)\Delta x \\ 当x=x_0,则 \\ \Delta y(x_0,\Delta x)=f^{\prime }(x_0)\Delta x \end{gathered}$$

  • 估算函数值

    • 其实就是将被估算的值拆成两部分:

      • $f(x)=f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+\Delta y(x_0,\Delta x)$

        • 其中$\Delta y(x_0,\Delta x)\approx f^{\prime }(x_0)\Delta x$
        • 综上,$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\Delta x$

      • 需要做的工作在于,将给定的一个x值表示成两部分

      • $$\begin{gathered} x=x_0+\Delta x \\ \Delta x要足够小 \\ 并且,f(x)在x=x_0处比较好计算,同时f^{\prime }(x_0)也好计算; \end{gathered}$$

      • 由此可见,估算过程中,$x_0$是主角,$\Delta x$是配角

    • 根据$\Delta y(x,\Delta x)=f(x+\Delta x)-f(x)\approx f^{\prime }(x)\Delta x$,通过移向变形,就可以得到:$f(x)$的近似值求解函数

    $$\begin{gathered} 对于f(x)的近似值,在满足一下条件的时候最有用: \\ (如果可以表示为(拆):x=x_0+\Delta x, \\ 其中(x,x_0,\Delta x)都是常数 \\ 并且,f(x_0)和f^{\prime }(x_0)都比较容易求解) \\ 则,f(x)=f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\Delta x这个表达式也是好求解的 \end{gathered}$$

估算$f(x)$实例

• 譬如,
  $$\begin{gathered} sin(33^{°})的近似值=? \\ x=x_0+\Delta x \\ {x}_0=30°=\frac{\pi }{6};\Delta x=3°=\frac{\pi }{60} \\ sin(30°+3°)\approx sin(\frac{\pi }{6})+si{n}^{\prime }(\frac{\pi }{6})\cdot \frac{\pi }{60}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\pi }{60}\approx 0.545 \end{gathered}$$

微分补充

从微分近似的角度,我们知道:
$$\begin{gathered} \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x) \\ \Delta y=f^{\prime }(x)\Delta x+\beta \\ \text{\hspace{1em}(从几何角度(a1))} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \beta =o(\Delta x),即,o(\Delta x)是\Delta x的高阶无穷小 \\ (在和\Delta x共同趋近于0的过程中,\beta =o(\Delta x)趋近于0的速度更快 \\ 意味着,当\Delta x足够小,那么: \end{gathered}$$

$$\Delta y=f^{\prime }(x)\Delta x+\beta \approx f^{\prime }(x)\Delta x\text{\hspace{1em}(a2)}$$

$$\begin{gathered} 函数y=f(x)的微分表示为: \\ dy=y^{\prime }dx=f^{\prime }(x)dx; \\ \Delta x=dx \\ \therefore f(x+\Delta x)=f(x_0)+\Delta y\approx f(x_0)+df(x); \end{gathered}$$