信息学奥赛一本通（1259：【例9.3】求最长不下降序列）

1259：【例9.3】求最长不下降序列

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【题目描述】

设有由n(1≤n≤200)个不相同的整数组成的数列，记为:b(1)、b(2)、……、b(n)若存在i1<i2<i3<…<ie且有b(i1)<=b(i2)<=…<=b(ie)则称为长度为e的不下降序列。程序要求，当原数列出之后，求出最长的不下降序列。

例如13，7，9，16，38，24，37，18，44，19，21，22，63，15。例中13，16，18，19，21，22，63就是一个长度为7的不下降序列，同时也有7 ，9，16，18，19，21，22，63组成的长度为8的不下降序列。

【输入】

第一行为n,第二行为用空格隔开的n个整数。

【输出】

第一行为输出最大个数max(形式见样例)；

第二行为max个整数形成的不下降序列,答案可能不唯一，输出一种就可以了，本题进行特殊评测。

【输入样例】

14
13 7 9 16 38 24 37 18 44 19 21 22 63 15

【输出样例】

max=8
7 9 16 18 19 21 22 63

【分析】

根据动态规划的原理，由后往前进行搜索（当然从前往后也一样）。

（1）对a[n]来说，由于它是最后一个数，所以当从 a[n]开始查找时，只存在长度为1的不下降序列;

（2）若从a[n-1]开始查找，则存在下面的两种可能性∶

        ①若a[n-1]<a[n]，则存在长度为2的不下降序列a[n-1]，a[n]。

        ②若a[n-1]>a[n]，则存在长度为1的不下降序列a[n-1]或a[n]。

（3）一般若从a[i]开始，此时最长不下降序列应该按下列方法求出：

        在a[i+1]，a[i＋2]，…，a[n]中，找出一个比 a[i]大的且最长的不下降序列，作为它的后继。

【数据结构】

        为算法上的需要，定义三个整型数组（也可以定义一个整数类型二维数组b[n][3]）

（1）a[i]：表示第 i 个数的数值本身。
（2）f[i]：表示从 i 位置到达n的最长不下降序列长度。
（3）p[i]：表示从 i 位置开始最长不下降序列的下一个位置，若p[i]=0，则表示后面没有连接项。

【动规分析】 

（1）划分阶段。

        阶段：根据p数组，即最长不下降序列的位置来划分阶段。

（2）确定状态和状态变量。

        状态：f 数组的中值表示从第 i 位置到达 n 的最长不下降长度，都是不同的状态，状态信息用f[i]表示。

（2）确定决策并写出状态转移方程。

        f[i]的值从哪来？当然是从f[j]而来，i<j≤n，策略：不下降，即a[i]≤a[j]。故：

        状态转移方程： f[i]=max{ f[j]+1 | i<j≤n, a[i]≤a[j] }。

（4）寻找边界条件。

         边界：f[n]=1，p[n]=0。

（5）设计并实现程序，数据存储和问题求解过程如下：

 【参考代码】

#include <stdio.h>
#define MAXN 210

int a[MAXN];           //数据存储数组 
int f[MAXN];           //最长不下降子序列数组，f[i]表示从i位置到达n的最长不下降序列长度 
int p[MAXN];           //位置数组，从i位置开始最长不下降序列的下一个位置

int main()
{
	int i,j;
	int n;             //数列长度 
	int maxn;          //以某数为起点的最长不降序列
	int k;
	int ans=0;         //最终结果 
	int s;             //s起始位置
	
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++)               //输入序列的初始值 
		scanf("%d",&a[i]);
	
	f[n]=1;
	p[n]=0;
	
	for(i=n-1;i>=1;i--)             //逆序求最长不下降序列 
	{
		maxn=0;
		k=0;
		for(j=i+1;j<=n;j++)
		{
			if(a[i]<=a[j] && f[j]>maxn)
			{
				maxn=f[j];
				k=j;
			}
		}
		if(maxn>=0)
		{
			f[i]=maxn+1;
			p[i]=k;
		}
	}
	for(i=1;i<=n;i++)         //求最长不下降序列起始位置 
	{
		if(f[i]>ans)
		{
			ans=f[i];
			s=i;
		}
	}
	printf("max=%d\n",ans);   //输出结果 
	while(s!=0)               //输出最长不下降序列 
	{
		printf("%d ",a[s]);
		s=p[s];
	}
	return 0;
}

http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1259