多元线性回归

本文内容来源于清风老师的讲解

对于线性的理解

• 假定$x$是自变量，$y$是因变量，且满足线性关系：$y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{\mu }_i$

• 线性假定并不要求初始模型都呈上述的严格线性关系，自变量与因变量可通过变量替换而转成线性关系模型，如：
  $$\begin{gathered} y_i={\beta }_0+{\beta }_1\ln x_i+{\mu }_i \\ \ln y_i={\beta }_0+{\beta }_1\ln x_i+{\mu }_i \\ {y}_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{\mu }_i \\ {y}_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_{1i}+{\beta }_2{x}_{2i}+\delta x_{1i}{x}_{2i}+{\mu }_i \end{gathered}$$

• 这种关系需要在建模前对数据进行预处理。

探究内生性

引例

1. 假设$x$是某产品品质评分（1-10之间），$y$为该产品的产量。我们建立一元线性回归模型，得到$\hat{y}=3.4+2.3x$
   1. 3.4：在评分为0时，该产品的平均销售为3.4
   2. 2.3：评分每增加一个单位，该产品的平均销量可增2.3
2. 如果现在有两个自变量，$x_1$表示品质评分，$x_2$表示该产品的价格。我们建立多元线性回归模型，的到$\hat{y}=5.3+0.19x_1-1.74x_2$
   1. 5.3：评分为0且价格为0时，该产品的平均销量为5.3（没显示意义，可以不分析）
   2. 0.19：在保持其他变量不变的情况下，评分每增加一个单位，该产品的平均销量增加0.19
   3. -1.74：在保持其他变量不变的情况下，价格每增加一个单位，该产品的平均销量减少1.74

• 可以看到，引入了新的自变量价格后，对回归系数的影响非常大！
• 原因：遗漏变量导致的内生性

内生性

• 假设我们的模型为：
  $$y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+...+{\beta }_k{x}_k+\mu$$
  $\mu$为无法观测但满足一定条件的扰动项。如果误差项$\mu$和所有的自变量$x$均不相关，则称该回归模型具有外生性，如果相关，则存在内生性，内生性会导致回归系数估计得不准确：不满足无偏和一致性。

• 引例中一元回归模型中，误差项包含价格，而价格和品质评分有关，所以导致了内生性。

核心解释变量和控制变量

• 无内生性要求所有的解释变量均与扰动项不相关，这个假定通常太强，因为解释变量一般很多。
• 要弱化此条件，可以将解释变量分为核心解释变量和控制变量两类，只要保证核心解释变量与$\mu$不相关即可。
• 核心解释变量：我们最感兴趣的变量，因此我们特别希望得到对其系数的一致估计。
• 控制变量：对这些变量本身并无太大兴趣，只是为了“控制住”那些对被解释变量有影响的遗漏因素。即把与核心解释变量有关的变量全放入回归中。

回归系数的解释

• 回归估计方程：
  $$\hat{y}={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_1{x}_1+{\hat{\beta }}_2{x}_2+...+{\hat{\beta }}_k{x}_k$$

  1. ${\beta }_0$的数值意义一般我们不考虑，因为所有的自变量不会同时为0。
  2. ${\hat{\beta }}_m$是控制其他自变量不变的情况下，$x_m$每增加一个单位，对$y$造成的变化，即${\hat{\beta }}_m=\frac{\partial y}{\partial x_m}$，因此多元线性回归模型中的回归系数，也称为偏回归系数。

什么时候取对数？

• 取对数意味着原被解释变量对解释变量的弹性，即百分比的变化而不是数值的变化。
• 目前，对于什么时候取对数还没有固定的规则，但是有一些经验法则：
  1. 与市场价值有关的，例如：价格、销售额、工资等都可以取对数；
  2. 以年度量的变量，如受教育年限、工作经历等通常不取对数。
  3. 比例变量，如失业率、参与率等，两者皆可；
  4. 变量取值必须是非负数，如果包含0，则可以对y取对数ln(1+y)。
• 取对数的好处：
  1. 较弱数据的异方差性；
  2. 如果变量本身不符合正态分布，取了对数后可能渐进服从正态分布；
  3. 模型形式的需要，让模型具有经济学意义。

四类模型回归系数的解释

1. 一元线性回归：$y=a+bx+\mu$，$x$每增加1个单位，$y$平均变化$b$个单位；
2. 双对数模型：$\ln y=a+b\ln x+\mu$，$x$每增加1%，$y$平均变化b%；
3. 半对数模型：$y=a+b\ln x+\mu$，$x$每增加1%，$y$平均变化b/100个单位；
4. 半对数模型：$\ln y=a+b\ln x+\mu$，$x$每增加1个单位，$y$平均变化（100b）%个单位。

虚拟变量

• 回归处理的是定量数据，那么定性数据怎么处理？
• Stata对虚拟变量的处理很友好，可以使用这个软件进行分析。

单分类

• 我们要研究性别对于工资的影响：
  $$y={\beta }_0+{\delta }_{0}Female+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+...+{\beta }_k{x}_k+\mu$$

  1. $Femal{e}_i=1$表示第$i$个样本为女性；
  2. $Femal{e}_i=0$表示第$i$个样本为男性；
  3. 核心解释变量：$Female$；
  4. 控制变量：$x_m$（和女性有关的变量）

1. $E(y|Female=1以及其他自变量给定)={\delta }_0\times 1+C$
2. $E(y|Female=0以及其他自变量给定)={\delta }_0\times 0+C$
3. $E(y|Female=1以及其他自变量给定)-E(y|Female=0以及其他自变量给定)=$${\delta }_0$（${\delta }_0$显著异于0才有意义）
4. ${\delta }_0$可解释为：在其他自变量给定的情况下，女性的平均工资与男性的平均工资的差异。（男性平均工资为对照组）

多分类

• 多分类变量中一个是对照组，其余变量是虚拟变量，这是为了避免完全多重共线性的影响，所以引入虚拟变量的个数一般是分类数-1

拟合优度较低

1. 回归分为解释性回归和预测性回归：
   1. 预测性回归一般才会更看重$R^2$
   2. 解释性回归更多关注模型整体显著性、自变量的统计显著性和经济意义显著性
2. 可以对模型进行调整，例如对数据取对数或者平方后再进行回归。
3. 数据中可能存在异常值或者数据得分布季度不均匀。

拟合优度和调整后的拟合优度

• 我们引入的自变量越多，拟合优度会变大，显然这不是我们想要的。我们倾向于使用调整后的拟合优度，如果新引入的自变量对残差SSE的减少程度特别少，那么调整后的拟合有毒反而会减小。
  $$R^2=1-\frac{SSE}{SST}$$$$R_{adjusted}^2=1-\frac{SSE/(n-k-1)}{SST/(n-1)}$$

标准化回归系数

• 为了更为精准的研究影响评价量的重要因素（去除量纲的影响），我们可以考虑使用标准化回归系数。
• 对数据进行标准化，就是将原始数据减去它的均数后，再除以该变量的标准差，回归后相应可得到标准化回归系数。
• 标准化回归系数的绝对值越大，说明对因变量的影响就越大（只关心显著的回归系数）
• 对数据进行标准化处理不会影响回归系数的标准误，也不会影响显著性。

异方差

• 在之前的回归分析中，我们都默认了扰动项${\mu }_i$是球形扰动项：满足“同方差”（$E({\mu }_i^2)={\sigma }^2$）和“无自相关”（$E({\mu }_i{\mu }_j)=0$）两个条件。
• 横截面数据容易出现异方差的问题；时间序列数据容易出现自相关的问题。

异方差的后果

1. OLS估计出来的回归系数是无偏、一致的。
2. 假设检验无法使用（构造的统计量失效了）。
3. OLS估计量不再是最有线性无偏估计。

检验异方差

1. 可以画残差和拟合值（或自变量）的散点图，分布均匀则没有异方差。
2. BP检验和怀特检验。后者还包括平方项与交叉项，因此，BP检验可以看成怀特检验的特例。BP检验的Stata命令：estat hettest,rhs iid；怀特检验的Stata命令：estat imtest,white

解决异方差

1. 使用OLS+稳健的标准误（用得多）
   1. 任然使用OLS回归，但使用稳健标准误差。这是最简单，也是目前最通用的方法。只要样本容量较大，即使存在异方差的情况下，若使用稳健标准误，则所有参数估计、假设检验均可照常进行。
   2. Stata命令：regress y x_1 x_2 … x_k ,robust
2. 广义最小二乘法GLS
   1. 原理：方差较大的数据包含的信息较少，我们可以给予信息量大的数据(即方差较小的数据更大的权重)
   2. 缺点：我们不知道扰动项真实的协方差矩阵，因此我们只能用样本数据来估计，这样得到的结果不稳健，存在偶然性。

多重共线性

• 如果数据矩阵$X$不满列秩，即某一解释变量可以由其他解释变量线性表出，则存在“严格多重共线性”（完全多重共线性）。
• 如果将第$i$个解释变量$x_i$对其余的解释变量$\{x_1,...,x_{i-1},x_{i+1},...,x_k\}$进行回归，所得到的可决系数较高，则存在近似多重共线性。

表现

1. 虽然整个回归方程的$R^2$较大、$F$检验也很显著，但单个系数的$t$检验却不显著，或者系数估计值不合理，甚至符号与理论预期相反。
2. 增减解释变量使得系数估计值发生较大变化。

如何检验多重共线性

• 方差膨胀因子(VIF)：假设现在又$k$个自变量，那么第$m$个自变量的$VI{F}_m=\frac{1}{1-R_{1\sim k/m}^2}$

$R_{1\sim k/m}^2$时将第$m$个自变量作为因变量，对剩下的$k-1$个自变量回归得到的拟合优度。

• $VI{F}_m$越大，说明第$m$个变量和其他变量的相关性越大。
• 如果$VIF=\max \{VI{F}_1,...,VI{F}_k\}>10$，则认为该回归方程存在严重的多重共线性。Stata命令：estat vif

多重共线性处理方法

1. 如果只是为了预测，即不关心具体的回归系数，则存在多重共线性没有影响（假设整个方程是显著的）。这是因为，多重共线性的主要后果是使得对单个变量的贡献不准，但所有变量的整体效果仍可以较准确的估计。
2. 如果关心具体的回归系数，但多重共线性并不影响所关心变量的显著性，那么也可以不必理会。即使在有方差膨胀的情况下，这些系数依然显著；如果没有多重共线性，则只会更加显著。
3. 如果多重共线性影响到所关心变量（核心解释变量）的显著性，则需要增大样本容量，剔除导致严重共线性的变量（不要轻易删除，因为可能会有内生性的影响），或对模型设定进行修改。

解决多重共线性

• 向前逐步回归：将自变量逐个引入模型，每引入一个自变量后都要进行检验，显著时才加入回归模型。缺点：随着以后其他自变量的引入，原来显著的自变量也可能又变为不显著了，但并没有将其及时从回归方程中剔除掉。
• 向后逐步回归：与向前逐步回归相反，先将所有变量均放入模型，之后尝试将其中一个自变量从模型中剔除，看整个模型解释因变量的便宜是否有显著变异，之后将最没有解释力的那个自变量剔除；此过程不断迭代，直到没有自变量符合剔除的条件。缺点：一开始就把全部变量都引入回归方程，这样计算量比较大。