高数---级数

常数项级数

定义

先搞清什么是级数，级数是一个求和，可以先理解为是数列的求和。

这样一个级数：${\sum }_{n=1}^{\infty }f(n)=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)+...$

$S(n)=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)$ 叫做部分和

如果$\underset{n\to \infty }{\lim }S(n)=S(常数)$，那么级数收敛。

使用定义法判断敛散性要学会的计算方法

• 数列求和
• 求极限

性质

1. 如果${\sum }_{n=1}^{\infty }f(n)=S$ ，则${\sum }_{n=1}^{\infty }kf(n)=kS$
2. 如果${\sum }_{n=1}^{\infty }f1(n)=S1，{\sum }_{n=1}^{\infty }f2(n)=S2$ ，则${\sum }_{n=1}^{\infty }f1(n)+f2(n)=S1+S2$
3. 如果${\sum }_{n=1}^{\infty }f1(n)收敛，{\sum }_{n=1}^{\infty }f2(n)发散$ ，则${\sum }_{n=1}^{\infty }f1(n)+f2(n)发散$
4. 如果${\sum }_{n=1}^{\infty }f1(n)发散，{\sum }_{n=1}^{\infty }f2(n)发散$ ，则${\sum }_{n=1}^{\infty }f1(n)+f2(n)收敛性不确定$
5. 如果${\sum }_{n=1}^{\infty }f(n)收敛$ ，则$\underset{n\to \infty }{\lim }f(n)=0$
6. 如果$\underset{n\to \infty }{\lim }f(n)=0$，不一定${\sum }_{n=1}^{\infty }f(n)收敛$
7. 如果$\underset{n\to \infty }{\lim }f(n)\ne 0$，则${\sum }_{n=1}^{\infty }f(n)发散$

常用级数的敛散性

正项级数审敛法

级数中的每一项都大于0的叫做正项级数。

比较法

1. 大级数收敛，则小级数收敛
2. 小级数发散，则大级数发散
3. 两个级数的比值为常数（0，$+\infty$），则两个级数的敛散性相同
   

比值法

当n趋向无穷大时，有后一项与前一项比较得出一个数s。
如果s小于1，则级数收敛；
若s大于1，则级数发散。

例题

1. 比较法两种解法
   
2. 利用性质7、常用级数和比较法
   
3. 比值法
   
4. 比值法
   

交错级数审敛法

级数中各项为正负交错称为交错级数

莱布尼兹定理

使用莱布尼兹定理：

对于这样一个级数：$f(n)=(-1{)}^{-1}u(n)$
在不考虑符号的情况下，u(n)单调递减且$\underset{n\to \infty }{\lim }f(n)=0$，则交错级数收敛

绝对收敛和条件收敛

在级数收敛的前提下分为绝对收敛和条件收敛

如果级数的公式加绝对值后求级数依然收敛，那么称为绝对收敛。
如果加绝对值之后变为发散，则称为条件收敛。

例题

解题过程

1. 先判断是不是绝对收敛
2. 判断是不是条件收敛
3. 都不是就是发散的

幂级数

常数项级数的每一项都是函数，幂级数的每一项都是函数，一般都是幂函数，所以称为幂级数。

${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n(x)=a_n(x-x_0{)}^n$

收敛半径、收敛区间、收敛域

• 收敛半径：$R=\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$
• 收敛区间：$(-R，R)$
• 收敛域：讨论当x = $\pm R$时对应的常数项级数的敛散性，收敛这则一端为闭区间，发散则这一端为开区间

例题

求和

求和的结果称为和函数

1. 重要的公式
   
2. 求解方法：代数变换、求导和积分
   
3. 例题

记得先求收敛域，收敛域就是和函数的定义域

进行适当的代数变换

展开

1. 直接法：公式法
   

2. 间接法：傅里叶展开
   

3. 例题
   

傅里叶级数

函数展开

展开公式

求和公式

正弦、余弦级数