Matlab: tf2zp与tf2zpk的差异

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1. 问题

2. tf2zp和tf2zpk的差异

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1. 问题

        tf2zp和tf2zpk都是用于由传递函数（Transfer Function）计算系统的零极点，但是它们之间有细微的差别。运行以下脚本：

b = [0.5, 1];
a = [1, 0.5, 1];
[z1,p1,k1] = tf2zp(b,a)
[z2,p2,k2] = tf2zpk(b,a)

得到结果如下：

z1 =    -2

p1 =

  -0.2500 + 0.9682i
  -0.2500 - 0.9682i

k1 =     0.5000

z2 =      0     -2

p2 =

  -0.2500 + 0.9682i
  -0.2500 - 0.9682i

k2 =     0.5000

 

针对同样的输入，tf2zp和tf2zpk计算出来的极点和增益是相同，但是零点略有差异，由tf2zp计算出来的结果中只有一个零点，而 tf2zpk计算出来的结果中有两个零点（多出来一个位置在0处的零点）。这是为什么呢？

 

2. tf2zp和tf2zpk的差异

        关于这一点Mathworks文档有如下说明：

Use tf2zpk when working with transfer functions expressed in inverse powers (). A similar function, tf2zp, is more useful for working with positive powers (), such as in continuous-time transfer functions.

        简而言之，就是tf2zpk是用于离散系统传递函数，而tf2zp是用于连续系统传递函数。

         连续系统传递函数是基于拉普拉斯变换而得，其中s的幂次通常是以非负整数的形式出现（其根源在于）。而离散系统传递函数是基于z变换而得，其中z的幂次通常是以非正整数的形式出现（其根源则在于）。

        以非负的幂表示和以非正的幂表示其实并没有本质的差别，相互之间也是可以相互转化的，但是在传递函数（在用非正数的幂表示时）的分子的阶数低于分母的阶数时，由非正的幂的形式转换为非负的幂的形式的表示时，却会导致多出来的零点。

        以上例来说，b = [0.5, 1]; a = [1, 0.5, 1]，当然它用于表示非负的幂的形式的连续系统的传递函数时，表示的是：

        

        很显然，它只有一个零点。

        但是，如果它是表示非正的幂的形式的离散系统的传递函数时，表示的则是：

        

        它的确有两个零点：0和-2!

 

        所以，在做从传递函数求零点的计算中，不要忘记所处理的传递函数的表达形式（b和a）是代表离散系统的，还是代表连续系统的传递函数，并据此选择是使用tf2zp还是zp2tf。

 

        有意思的是，在 传递函数、零极点模型以及状态空间模型的相互转换的函数族中，只有从传递函数到零极点区分了连续版和离散版。其它的如zp2tf, tf2ss, ss2tf, ss2zp和zp2ss则都并没有区分连续版和离散版，这是为什么呢？我也还没有想明白。。。^-^一种可能的解释是只有从传递函数求零极点时才会出现这种模糊性。。。待确认

        不妨做一个实验，以下代码针对上面代码段生成的两组zpk结果分别调用zp2tf变回去，

[b1,a1] = zp2tf(z1,p1,k1)
[b2,a2] = zp2tf(z2,p2,k2)

b1 =         0    0.5000    1.0000

a1 =    1.0000    0.5000    1.0000

b2 =    0.5000    1.0000         0

a2 =    1.0000    0.5000    1.0000        

        很明显，所得到的传递函数的分子有差异。我们可以理解为，当从零极点变换会传递函数表现形式时，总是当作非负幂形式的传递函数来看的。