论文笔记: 多标签学习 LSML

摘要: 分享对论文的理解. 原文见 Huang, J., Qin, F., Zheng, X., Cheng, Z.-K., Yuan, Z.-X., Zhang, W.-G., & Huang, Q.-M. (2019). Improving multi-label classification with missing labels by learning label-specific features. Information Sciences, 492, 124–146.

1. 论文贡献

• 在 LIFT 的基础上, 考虑了标签相关性 (张星移正在担忧的事情). 大胆地使用了一个标签相关性矩阵.
  However, label correlation among class labels is neglected when selecting the features for each class label independently.
• 考虑了缺失标签. 但我到现在都没弄清楚他是怎么考虑的.

2. 基本符号

符号	含义	说明
$\mathbf{X}\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$	属性矩阵
$\mathbf{Y}\in \{0,1{\}}^{n\times l}$	标签矩阵
$\mathbf{W}\in {\mathbb{R}}^{m\times l}$	系数矩阵	仍然是线性模型
${\mathbf{w}}_i\in {\mathbb{R}}^m$	某一标签的系数向量
$\mathbf{C}\in {\mathbb{R}}^{l\times l}$	标签相关性矩阵	成对相关性, 不满足对称性

$y_{ij}=0$ 表示第 $i$ 个对象没有第 $j$ 个标签, 或者标签缺失. 这在实际应用中很常见, 标注者很多时候只告诉你有哪些, 而不会说没有哪些标签.

3. 算法

基本优化目标为:
$$\underset{\mathbf{W}}{\min }\frac{1}{2}\Vert \mathbf{X}\mathbf{W}-\mathbf{Y}\Vert +{\lambda }_3\Vert \mathbf{W}{\Vert }_1\text{\hspace{1em}(1)}$$

• 使用 ${\lambda }_3$ 而不是 $\lambda$, 是为了与后面的式子保持一致;
• 用 1-范数做正则项, 确实可以控制 $\mathbf{W}$ 的系数, 这个与 PML-NI 的思路一样, 但后者本意是用 0-范数.
• 这里并没有使用 LIFT 为每个标签构建新属性集合的方式, 称其为 “label-specific features”, 感觉草率了些.

考虑标签相关性矩阵 $\mathbf{C}$ 的优化目标为:
$$\underset{\mathbf{W},\mathbf{C}}{\min }\frac{1}{2}\Vert \mathbf{X}\mathbf{W}-\mathbf{Y}\mathbf{C}{\Vert }_F^2+\frac{{\lambda }_1}{2}\Vert \mathbf{Y}\mathbf{C}-\mathbf{Y}{\Vert }_F^2+{\lambda }_2\Vert \mathbf{C}{\Vert }_1+{\lambda }_3\Vert \mathbf{W}{\Vert }_1\text{\hspace{1em}(2)}$$

• 这里的 $\mathbf{C}$ 也是优化算法需要求的矩阵, 并非从其它方式计算而来.
• 难道作者认为 $\mathbf{Y}\mathbf{C}$ 就是恢复后的标签矩阵? 这样的话, 预测的时候就只需要使用 $\mathbf{x}\mathbf{W}$ 而不考虑 $\mathbf{C}$ 了. 需要进一步读论文印证.

进一步考虑: 如果两个标签相关性大, 那么产生它们的权值向量距离就应该小. 由此获得优化目标:
$$\underset{\mathbf{W},\mathbf{C}}{\min }\frac{1}{2}\Vert \mathbf{X}\mathbf{W}-\mathbf{Y}\mathbf{C}{\Vert }_F^2+\frac{{\lambda }_1}{2}\Vert \mathbf{Y}\mathbf{C}-\mathbf{Y}{\Vert }_F^2+{\lambda }_2\Vert \mathbf{C}{\Vert }_1+{\lambda }_3\Vert \mathbf{W}{\Vert }_1+{\lambda }_4\sum _{1\le i,j\le l}{c}_{ij}\Vert {\mathbf{w}}_i-{\mathbf{w}}_j\Vert \text{\hspace{1em}(3)}$$

• 最后一项的双竖线在这里表示欧氏距离.
• 为使得最后一项小, 当 $c_{ij}$ 大的时候, $\Vert {\mathbf{w}}_i-{\mathbf{w}}_j\Vert$ 就应该小.
• 为了优化, 最后一项会变为
  $${\lambda }_{4}tr({\mathbf{W}\mathbf{L}\mathbf{W}}^{\mathrm{T}})$$
  其中, $\mathbf{L}$ 是 $\mathbf{C}$ 的图 Laplacian 矩阵.

4. 小结

• 想要体现什么因素, 就加一个正则项. 有合理解释, 以及更好效果就行.
• 但从我们的实验看来, 这个算法的效果很一般. 当然, 效果与数据集、参数设置这些都很有关.