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数学知识整理：极值＆最值，驻点，拉格朗日乘子

2022-06-13 00:53:00 【UQI-LIUWJ】

1 极值

1.1 驻点

如果函数z=f(x,y)在点处有极值，且偏微商存在，那么z=f(x,y)在处的偏微商必为0，即
称满足的点为函数z=f(x,y)的驻点，也称为平衡点
z=f(x,y)的极值点必然是它的驻点或者偏微商不存在的点；但是驻点不一定是极值点
- 比如z=f(x,y)=xy，在(0,0)处显然有，也即(0,0)是f(x,y)的一个驻点，但是(0,0)并不是函数的极值点（只是一个鞍点）
1.1.1 驻点是极值点的充分条件

设z=f(x,y)在定义域内一点 (x_0,y_0) 处有二阶连续偏微商，且 f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0

我们记 $f_{xy}(x_0,y_0)=A,f_{xy}(x_0,y_0)=B,f_{yy}(x_0,y_0)=C$ ， $\Delta=\begin{vmatrix} A & B\\ B & C \end{vmatrix}=AC-B^2$ ，则

当Δ>0,A>0时，f(x,y)在点处有极小值
当Δ>0,A<0时，f(x,y)在点处有极大值
当Δ<0时， f(x,y)在点处无极值

2 最值

求函数在区域D上的最值的一般方法是，先求出函数在区域D内部的极值，在于函数在D的边界上的最值进行比较。

对于有些问题而言，我们可以知道函数最值存在，且在区域D的内部。如果此时函数在区域D内偏微分存在，且又只有唯一的驻点 (x_0,y_0) ，那此驻点为最值

3 条件极值

求函数z=f(x,y)满足条件 $\varphi (x,y)=0$ 的条件极值

3.1 将条件极值化为普通极值

从条件方程 $\varphi (x,y)=0$ 中解出y=g(x),代入z=f(x,y)中

3.2 拉格朗日乘子

（1）写出辅助函数 $F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$

（2）x,y,λ满足的方程组

$\left\{\begin{matrix} F_x(x,y,\lambda)=f_x(x,y)+\lambda\varphi_x(x,y)=0\\ F_y(x,y,\lambda)=f_y(x,y)+\lambda\varphi_y(x,y)=0\\ F_\lambda(x,y,\lambda)=\varphi(x,y)=0 \end{matrix}\right.$

（3）由上述方程组解出的(x,y)就是可能取条件极值的点

求m元函数+n个约束条件同理

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