使用Matlab实现：幂法、反幂法(原点位移)

幂法

例题

使用幂法，计算下面矩阵的主特征值及对应的特征向量。

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right]$

实现

幂法的数学迭代公式为：

$取v^{(0)}̸=0，\alpha ̸=0，令u^{(0)}=v^{(0)}$

$v^{(1)}=A{v}^{(0)}=A{u}^{(0)}$

$u^{(1)}=\frac{v^{(1)}}{max(v^{(1)})}=\frac{A{v}^{(0)}}{max(A{v}^{(0)})}$

$v^{(2)}=A{u}^{(1)}=\frac{A{v}^{(1)}}{max(A{v}^{(0)})}=\frac{A^2{v}^{(0)}}{max(A^2{v}^{(0)})}$

$u^{(2)}=\frac{v^{(2)}}{max(v^{(2)})}=\frac{A^2{v}^{(0)}}{max(A^2{v}^{(0)})}$

依次类推。

使用Matlab实现：

format long g;
v0 = [1;1;1];
u0 = [1;1;1];
A = [2,-1,0;-1,2,-1;0,-1,2];
v = A * u0;
u = v / norm(v, inf);
i = 0;
while norm(u - u0, inf) >= 1e-5
    u0 = u;
    v = A * u0;
    u = v / norm(v, inf);
    i ++;
end;
norm(v, inf)
i
u

求解得：

$i=8，u^{(9)}=(0.70711,-1,0.70711{)}^T，\lambda =max(v^{(9)})=3.41422$

反幂法

例题

已知下列矩阵有特征值 $\lambda$ 的近似值 $p=4.3$ ，用原点位移的反幂法，求对应的特征向量 $u$ ，并改善 $\lambda$ 。

$A=\left[\begin{array}{ccc}3& 0& -10\\ -1& 3& 4\\ 0& 1& -2\end{array}\right]$

实现

反幂法，是基于幂法，推导出来的一个求最小特征值的方法。由于特征值的性质，可以用来求某个近似值的精确特征值。

其数学迭代方法如下：

首先，对矩阵 $A-pI$进行三角分解，便于以后求方程组的解。

$A-pI=LU$

求 $v^{(k)}$ 时，相当于求两个三角方程组。

$\{\begin{array}{l}L{y}^{(k)}=u^{(k-1)}\\ U{v}^{(k)}=y^{(k)}\end{array}$

又有：

$u^{(k)}=\frac{v^{(k)}}{max(v^{(k)})}$

使用Matlab实现：

A = [3,0,-10;-1,3,4;0,1,-2];
I = eye(3,3);
p = 4.3;
u0 = [1;1;1];
v = inv(A - p * I) * u0;
u = v / norm(v, inf);
i = 0;
while norm(u - u0, inf) > 1e-5
    u0 = u;
    v = inv(A - p * I) * u0;
    u = v / norm(v, inf);
    i ++;
end;
i
u
x = p + 1 / norm(v, inf)

求解得：

$i=6，u^{(7)}=(-0.96606,1,0.15210{)}^T，\lambda =p+\frac{1}{max(v^{(k)})}=4.57447$