20220725 自动控制原理中的卷积Convolution

什么是卷积

con前缀是源于拉丁语,con前缀有两个含义,一是“共同”;二是加强。
volution作名词时译为“涡旋；螺旋”。但是个人觉得可以理解为变化，推进

不准确地讲，卷积就是一个信号在0时刻作用一下系统，在1时刻作用一下系统，在2时刻作用一下系统，…，在n时刻作用一下系统，这时候看n时刻这些作用合起来的表现。相当于信号在系统上滑过去的作用结果。

脉冲信号在系统中的输出

• 脉冲信号 $\delta (t)$ 是时间宽度为0，但面积为1的虚拟信号。
• 假设存在一个近似信号${\delta }_{\Delta }(t)$，时间宽度为$\Delta$，长度为$\frac{1}{\Delta }$，即面积为1。当 $\Delta$ 趋近于0，则 ${\delta }_{\Delta }(t)$ 趋近于 $\delta (t)$。

将脉冲信号输入到某系统中

假设当${\delta }_{\Delta }(0)$输入到某系统中，产生一个$h_{\Delta }(t),t⩾0$的输出。

那么当$A{\delta }_{\Delta }(0)$输入到某系统中，产生一个$A{h}_{\Delta }(t),t⩾0$的输出。$A$是指面积比例。

如何定义某系统

我们定义当$\delta (t)$输入到某系统中，产生一个$h(t)$的输出，把这个$h(t)$用来代表系统。

卷积的连续表达

那么当一个连续信号$u(t)$输入到一个动态系统h(t)中，有$$x(t)={\int }_0^{t}h(t-\tau )u(\tau )\text{ d}\tau$$，注意$u(\tau )\text{ d}\tau$就是面积比例，由于信号是在 $\tau$ 时刻作用的，那么在 $t$ 时刻共作用了 $t-\tau$ 的时间，即输出是 $h(t-\tau )$乘以倍数。再进行积分即可。

为了方便，定义为$$x(t)={\int }_0^{t}h(t-\tau )u(\tau )\text{ d}\tau =u(t)\ast h(t)$$

记为，$u(t)$ 在 $h(t)$ 上卷。

注：参考Bilibili Dr Can的《控制之美》。