MCS：离散随机变量——Poisson分布

Poisson

当事件在指定的时间间隔内(单位时间)，以固定平均瞬时速率(平均发生次数)$\theta$发生,那么描述这个单位时间内事件发生次数的变量就是泊松变量。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数，例如：每分钟经过十字路口的车辆数量；没小时车站的候客人数；

$$P(x)=\frac{{\theta }^x{e}^{-\theta }}{x!}，x=0,1,2,...$$

期望和方差：

$$E(x)=\theta$$
$$V(x)=\theta$$

泊松变量&指数变量：$t$

$$E(t)=\frac{1}{\theta }$$

生成随机泊松变量

生成随机泊松变量$x$,且$E(x)=V(x)=\theta$

1. 令$x=0,i=0,S_t=0$
2. $i=i+1$，生成随机指数变量：$t$，且$E(t)=1/\theta$，$S_t=S_t+t$
3. if $S_t>1$，$\to step5$
4. if $S_t<=1,x=x+1$，$\to step2$
5. Return $x$

例：假设$x$为服从泊松分布的随机变量，单位时间内事件发生的期望次数为$\theta =2.4$，下面通过指数变量$t$,($E(t)=1/2.4$)来生成泊松变量：

1. 令$x=0，S_t=0$
2. $i=1，t=0.21，S_t=0.21，x=1$
3. $i=2，t=0.43，S_t=0.64，x=2$
4. $i=3，t=0.09，S_t=0.73，x=3$
5. $i=4，t=0.31，S_t=1.04，x=4$
6. $x=3$

例：一个24小时营业的加油站，每天有200-300辆车来这里加油，其中80%是汽车，15%是卡车，5%是摩托车。每辆汽车消耗汽油最小是3加仑，平均是11加仑。卡车消耗汽油最少是8加仑，平均是20加仑。摩托车消耗的汽油最少是2加仑，平均是4加仑。分析员想弄清楚加油站一天之内消耗总量的分布情况。

用随机数模拟未来1000天，加油站汽油消耗情况，车辆的类型和消耗的油量通过随机数生成。

1. 记录模拟数据，每天的耗油总量$G$
2. 从小到大排序,$G(1)<=G(2)<=G(3)<=...G(1000)$
3. 估计分位数：$G(p\times 1000)$，$p=0.01,G(0.01\times 1000)=G(10)$

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

def gas_consum_oneday():
    num_vehicle = np.clip(np.random.poisson(300), 200, 500)
    num_cars = int(num_vehicle * 0.8)
    num_trucks = int(num_vehicle * 0.15)
    num_motos = num_vehicle - (num_cars + num_trucks)
    car_consume = [np.random.randint(3, 19) for i in range(num_cars)]
    truck_consume = [np.random.randint( 8, 32) for i in range(num_trucks)]
    moto_consume = [np.random.randint( 2, 6) for i in range(num_motos)]
    sum_gas = np.sum(car_consume + truck_consume + moto_consume)
    return num_vehicle, num_cars, num_trucks, num_motos, sum_gas

	vehicle_record	cars_record	trucks_record	motos_record	gas_record	P
9	201	160	30	11	2362	0.01
49	202	161	30	11	2447	0.05
99	213	170	31	12	2498	0.10
199	215	172	32	11	2617	0.20
299	228	182	34	12	2723	0.30
399	245	196	36	13	2841	0.40
499	254	203	38	13	2965	0.50
599	259	207	38	14	3089	0.60
699	262	209	39	14	3199	0.70
799	276	220	41	15	3332	0.80
899	288	230	43	15	3468	0.90
949	297	237	44	16	3536	0.95
989	299	239	44	16	3616	0.99

模拟结果：

• 日消耗油量超过3536加仑的概率为：5%
• 日耗油量超过3616加仑概率为：1%
• 日耗油90%的区间为：$P(2447<=G<=3536)=0.90$