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高数---二重积分

2022-08-02 22:53:00 【DB_鸠】

计算

  1. 画图
  2. 写出二重积分
  3. 化为一重积分
  4. 计算结果

直角坐标系

在这里插入图片描述
eg1 , eg2, eg9

极坐标

被积部分时圆域且是 x 2 + y 2 x^2 + y^2 x2+y2 有关的一般用极坐标
在这里插入图片描述

转换

坐标系转换

  1. 先画图
  2. 根据图确定θ的变化和上下限
  3. 按照图和公式确定ρ的变化上下限
  4. d x d y = ρ d ρ d θ dxdy = ρ dρdθ dxdy=ρdρdθ
    在这里插入图片描述
    eg7 , eg8, eg9(选择合适的坐标系)

积分次序

  1. 确定积分区域
  2. 根据积分画图
  3. 根据图重写积分

eg3 , eg4 ，eg5

性质

对称性

  1. D关于x轴对称， f ( x , − y ) = − f ( x , y ) f(x,-y) = -f(x,y) f(x,−y)=−f(x,y)， y d x d y ydxdy ydxdy的二重积分为0。
  2. D关于y轴对称， f ( − x , y ) = − f ( x , y ) f(-x,y) = -f(x,y) f(−x,y)=−f(x,y)， x d x d y xdxdy xdxdy的二重积分为0。
  3. D关于y = x对称 f ( x , y ) d x d y = f ( y , x ) d x d y f(x,y)dxdy = f(y,x)dxdy f(x,y)dxdy=f(y,x)dxdy

eg10 ， eg11

几何意义

二重积分的值就是曲顶柱体的体积。

底部投影作为二重积分的上下限，截取柱体的曲面方程就是被积函数

eg6

例题

  1. eg1
    在这里插入图片描述

  2. eg2
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  3. eg3
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  4. eg4
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  5. eg5
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  6. eg6
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  7. eg7
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  8. eg8
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  9. eg9
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  10. eg10
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  11. eg11
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原网站

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