卫星运动的微分方程

卫星轨道微分方程：

  卫星运动中的有心力是保守力，机械能守恒定律成立.因此，我们可以采用总能量来讨论卫星轨道的具体形式.在平方反比引力问题中，力的具体形式已知.

  因为有心力是保守力，故一定存在势能，有

  (2)式中是一个与卫星无关而只和地球有关的量，为卫星和地球之间的距离， 为卫星质量.取无穷远处的势能为零，则得质点在距力心为时的引力势能为：

  我们在研究有心力问题时，如图1所示，通常将机械能守恒定律和动量矩守恒定律结合起来.常用如下两个方程作为基本方程：

图1·建立极坐标系进行分析

  式子中是常数   联立和式可得：

  为了消去式中的 ，我们先做如下变换：

  将带入可得：

  将联立可得：

  解出 ，并分离变量并积分可得：

  已知极坐标系的标准圆锥曲线方程为：

  令 ，，所以可以将式改写成式的形式. 由式可知，因为 的值恒为正，所以总能量 决定了卫星轨道的形状.

  下面我们分类讨论：

，则 ,轨道为椭圆；

，则 ,轨道为抛物线；

，则 ,轨道为双曲线.

数值模拟

1、圆轨道

图2·圆轨道数值模拟

图3·卫星在圆轨道能量变化情况

2、椭圆轨道

图4·椭圆轨道数值模拟

图5·卫星在椭圆轨道能量变化情况

3、抛物线轨道

图6·抛物线轨道数值模拟

图7·卫星在抛物线轨道能量变化情况

3、双曲线轨道

图8·双曲线轨道数值模拟

图9·卫星在双曲线轨道能量变化情况

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