20220724 三角函数系的正交性

三角函数系定义为：$$\{1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos 2x,\cdots ,\sin nx,\cos nx,\cdots \}$$正交性是指任意两个不同函数的乘积在区间 $[-\pi ,\pi ]$ 内积分为0，即$${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nx\cos nx\text{ d}x=0$$$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos mx\text{ d}x=0,m\ne n$$$${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin mx\text{ d}x=0$$

对于第一个和第三个等式，由于 $\sin nx\cos nx$ 和 $\sin mx$ 是奇函数，所以成立。

对于第二个等式，证明过程如下：
$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos mx\text{ d}x& =\frac{1}{m}{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\text{ d}\sin mx\\ & =\frac{1}{m}\cos nx\sin mx{|}_{-\pi }^{\pi }-\frac{1}{m}{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin mx\text{ d}\cos nx\\ & =\frac{n}{m}{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin mx\sin nx\text{ d}x\end{array}$$
进一步可知，
$$\begin{array}{r}{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos mx\text{ d}x-{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin mx\sin nx\text{ d}x=(1-\frac{m}{n}){\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos mx\text{ d}x\end{array}$$
另外$$\begin{array}{r}{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos mx\text{ d}x-{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin mx\sin nx\text{ d}x={\int }_{-\pi }^{\pi }\cos ((m+n)x)\text{ d}x\end{array}=0$$
则可知，若 $m\ne n$，则有 $${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos mx\text{ d}x=0$$
另，若 $m=n$，显然有 $${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos mx\text{ d}x>0$$。
证毕。