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高等数学（第七版）同济大学习题3-5 个人解答

2022-07-28 03:33:00 【Navigator_Z】

高等数学（第七版）同济大学习题3-5

$\begin{aligned}&1. \ 求下列函数的极值：&\end{aligned}$

$\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ y=2x^3-6x^2-18x+7；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ y=x-ln(1+x)；\\\\ &\ \ (3)\ \ y=-x^4+2x^2；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ y=x+\sqrt{1-x}；\\\\ &\ \ (5)\ \ y=\frac{1+3x}{\sqrt{4+5x^2}}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)\ \ y=\frac{3x^2+4x+4}{x^2+x+1}；\\\\ &\ \ (7)\ \ y=e^xcos\ x；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8)\ \ y=x^{\frac{1}{x}}；\\\\ &\ \ (9)\ \ y=3-2(x+1)^{\frac{1}{3}}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10)\ \ y=x+tan\ x. & \end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ (1)\ y'=6x^2-12x-18，y''=12x-12，令y'=0，得x_1=-1，x_2=3，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x=-1时，y''=-24 \lt 0，得出当x=-1时，y=17是极大值，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x=3时，y''=24 \gt 0，得出当x=3时，y=-47是极小值。\\\\ &\ \ (2)\ 函数定义域为(-1, \ +\infty)，在(-1, \ +\infty)内可导，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ y'=1-\frac{1}{1+x}，y''=\frac{1}{(1+x)^2}\ (x \gt -1)，令y'=0，得x=0，当x=0时，y''=1 \gt 0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 得出当x=0时，y=0是极小值。\\\\ &\ \ (3)\ y'=-4x^3+4x=-4x(x^2-1)，y''=-12x^2+4，令y'=0，得x_1=-1，x_2=1，x_3=0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x=-1时，y''=-8 \lt 0，得出当x=-1时，y=1是极大值，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x=1时，y''=-8 \lt 0，得出当x=1时，y=1是极大值，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x=0时，y''=4 \gt 0，得出当x=0时，y=0是极小值。\\\\ &\ \ (4)\ 函数定义域为(-\infty, \ 1]，在(-\infty, \ -1)内可导，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ y'=1-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}=\frac{2\sqrt{1-x}-1}{2\sqrt{1-x}}，y''=-\frac{1}{4\sqrt{(1-x)^3}}\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 令y'=0，得x=\frac{3}{4}，当x=\frac{3}{4}时，y''=-2 \lt 0，得出当x=\frac{3}{4}时，y=\frac{5}{4}是极大值。\\\\ &\ \ (5)\ y'=\frac{3\sqrt{4+5x^2}-(1+3x)\cdot \frac{10x}{2\sqrt{4+5x^2}}}{4+5x^2}=\frac{12-5x}{\sqrt{(4+5x^2)^3}}=\frac{-5\left(x-\frac{12}{5}\right)}{\sqrt{(4+5x^2)^3}}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 令y'=0，得x=\frac{12}{5}，当-\infty \lt x \lt \frac{12}{5}时，y' \gt 0，所以函数在\left(-\infty, \ \frac{12}{5}\right]上单调增加，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当\frac{12}{5} \lt x \lt +\infty时，y' \lt 0，所以函数在\left[\frac{12}{5}, \ +\infty\right)上单调减少，所以y\left(\frac{12}{5}\right)=\frac{\sqrt{205}}{10}是极大值。\\\\ &\ \ (6)\ y'=\frac{(6x+4)(x^2+x+1)-(2x+1)(3x^2+4x+4)}{(x^2+x+1)^2}=\frac{-x(x+2)}{(x^2+x+1)^2}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 令y'=0，得x_1=-2，x_2=0，当-\infty \lt x \lt -2时，y' \lt 0，所以函数在(-\infty, \ -2]上单调减少，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当-2 \lt x \lt 0时，y' \gt 0，所以函数在[-2, \ 0]上单调增加，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当0 \lt x \lt +\infty时，y' \lt 0，所以函数在[0, \ +\infty)上单调减少，得出y(-2)=\frac{8}{3}是极小值，y(0)=4是极大值。\\\\ &\ \ (7)\ y'=e^xcos\ x-e^xsin\ x=e^x(cos\ x-sin\ x)，y''=-2e^xsin\ x，令y'=0，得x_k=2k\pi+\frac{\pi}{4}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ x'_k=2k\pi+\frac{5\pi}{4}\ (k=0，\pm 1，\pm 2，\cdot\cdot\cdot)，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x=2k\pi+\frac{\pi}{4}时，y''=-\sqrt{2}e^{2k\pi+\frac{\pi}{4}} \lt 0，得出当x=2k\pi+\frac{\pi}{4}时，y=\frac{\sqrt{2}}{2}e^{2k\pi+\frac{\pi}{4}}\ \\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ (k=0，\pm 1，\pm 2，\cdot\cdot\cdot)是极大值，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x=2k\pi+\frac{5\pi}{4}时，y''=\sqrt{2}e^{2k\pi+\frac{5\pi}{4}} \gt 0，得出当x=2k\pi+\frac{5\pi}{4}时，y=\frac{-\sqrt{2}}{2}e^{2k\pi+\frac{5\pi}{4}}\ \\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ (k=0，\pm 1，\pm 2，\cdot\cdot\cdot)是极小值。\\\\ &\ \ (8)\ 函数的定义域为(0, \ +\infty)，在(0, \ +\infty)内可导，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ y'=(e^{\frac{1}{x}ln\ x})'=e^{\frac{1}{x}ln\ x}\cdot \frac{1-ln\ x}{x^2}=x^{\frac{1}{x}-2}(1-ln\ x)，令y'=0，得x=e，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当0 \lt x \lt e时，y' \gt 0，所以函数在(0, \ e]上单调增加，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当e \lt x \lt +\infty时，y' \lt 0，所以函数在[e, \ +\infty)上单调减少，得出y(e)=e^{\frac{1}{e}}是极大值。\\\\ &\ \ (9)\ 当x \neq -1时，y'=-\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{(x+1)^3}} \lt 0，因为x=-1时函数有定义，所以函数在(-\infty, \ +\infty)内单调减少，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 没有极值。\\\\ &\ \ (10)\ y'=1+sec^2\ x \gt 0，所以函数在(-\infty, \ +\infty)内单调增加，没有极值。 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&2. \ 试证明：如果函数y=ax^3+bx^2+cx+d满足条件b^2-3ac \lt 0，那么这函数没有极值。&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ y'=3ax^2+2bx+c，由b^2-3ac \lt 0可知a \neq 0，c \neq 0，\Delta=(2b)^2-4(3a)c=4(b^2-3ac) \lt 0，\\\\ &\ \ 当a \gt 0时，y'图像开口向上，且在x轴上方，所以y' \gt 0，函数在(-\infty, \ +\infty)内单调增加，\\\\ &\ \ 当a \lt 0时，y'图像开口向下，且在x轴下方，所以y' \lt 0，函数在(-\infty, \ +\infty)内单调减少，\\\\ &\ \ 所以，只要b^2-3ac \lt 0，函数在(-\infty, \ +\infty)内单调，且没有极值。 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&3. \ 试问a为何值时，函数f(x)=asin\ x+\frac{1}{3}sin\ 3x在x=\frac{\pi}{3}处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值。&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ f'(x)=acos\ x+cos\ 3x，f(x)在x=\frac{\pi}{3}处取得极值，f'\left(\frac{\pi}{3}\right)=0，即acos\ \frac{\pi}{3}+cos\ \pi=0，得a=2，\\\\ &\ \ f''(x)=-2sin\ x-3sin\ 3x，f''\left(\frac{\pi}{3}\right)=-2sin\ \frac{\pi}{3}-3sin\ \pi=-\sqrt{3} \lt 0，所以，\\\\ &\ \ f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2sin\ \frac{\pi}{3}+\frac{1}{3}sin\ \pi=\sqrt{3}是极大值。 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&4. \ 设函数f(x)在x_0处有n阶导数，且f'(x_0)=f''(x_0)=\cdot\cdot\cdot=f^{(n-1)}(x_0)=0，f^{(n)}(x_0) \neq 0，证明：&\end{aligned}$

$\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 当n为奇数时，f(x)在x_0处不取得极值；\\\\ &\ \ (2)\ \ 当n为偶数时，f(x)在x_0处取得极值，且当f^{(n)}(x_0) \lt 0时，f(x_0)为极大值，当f^{(n)}(x_0) \gt 0时，f(x_0)为极小值。 & \end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 由含佩亚诺余项的n阶泰勒公式和已知，可得f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)，\\\\ &\ \ 即f(x)-f(x_0)=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)，得知f(x)-f(x_0)在x_0某邻域内的符号\\\\ &\ \ 由\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n在某邻域内的符号决定。\\\\ &\ \ (1)\ 当n为奇数时，(x-x_0)^n在x_0两侧异号，所以\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n在x_0两侧异号，即f(x)-f(x_0)在x_0两侧异号，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 所以f(x)在x_0处不取得极值。\\\\ &\ \ (2)\ 当n为偶数时，在x_0两侧(x-x_0)^n \gt 0，如果f^{(n)}(x_0) \lt 0，则\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \lt 0，f(x)-f(x_0) \lt 0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 即f(x) \lt f(x_0)，所以f(x_0)是极大值，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 如果f^{(n)}(x_0) \gt 0，则\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \gt 0，f(x)-f(x_0) \gt 0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 即f(x) \gt f(x_0)，所以f(x_0)是极小值。 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&5. \ 试利用习题4的结论，讨论函数f(x)=e^x+e^{-x}+2cos\ x的极值。&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ f'(x)=e^x-e^{-x}-2sin\ x，f''(x)=e^x+e^{-x}-2cos\ x，f'''(x)=e^x-e^{-x}+2sin\ x，f^{(4)}(x)=e^x+e^{-x}+2cos\ x，\\\\ &\ \ 所以f'(0)=f''(0)=f'''(0)=0，f^{(4)}(0)=4 \gt 0，函数f(x)在x=0处有极小值，为4 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&6. \ 求下列函数的最大值、最小值：&\end{aligned}$

$\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ y=2x^3-3x^2，-1 \le x \le 4；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ y=x^4-8x^2+2，-1 \le x \le 3；\\\\ &\ \ (3)\ \ y=x+\sqrt{1-x}，-5 \le x \le 1. & \end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ (1)\ 函数在[-1, \ 4]上可导，y'=6x^2-6x=6x(x-1)，令y'=0，得x_1=0，x_2=1，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x=-1时，y=-5，当x=0时，y=0，当x=1时，y=-1，当x=4时，y=80，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以函数得最大值为x=4时，y=80，最小值为x=-1时，y=-5。\\\\ &\ \ (2)\ 函数在[-1, \ 3]上可导，y'=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)，令y'=0，得x_1=-2，x_2=0，x_3=2，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x=-1时，y=-5，当x=0时，y=2，当x=2时，y=-14，当x=3时，y=11，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以函数得最大值为当x=3时，y=11，最小值为当x=2时，y=-14。\\\\ &\ \ (3)\ 函数在[-5, \ 1)上可导，y'=1-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}=\frac{2\sqrt{1-x}-1}{2\sqrt{1-x}}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 令y'=0，得x=\frac{3}{4}，当x=-5时，y=-5+\sqrt{6}，当x=\frac{3}{4}时，y=\frac{5}{4}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当x=1时，y=1，函数得最大值为当x=\frac{3}{4}时，y=\frac{5}{4}，最小值为当x=-5时，y=-5+\sqrt{6}。 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&7. \ 问函数y=2x^3-6x^2-18-7\ (1 \le x \le 4)在何处取得最大值？并求出它的最大值。&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 函数在[1, \ 4]上可导，y'=6x^2-12x-18=6(x+1)(x-3)，令y'=0，得x_1=-1，x_2=3，\\\\ &\ \ 当x=1时，y=-29，当x=3时，y=-61，当x=4时，y=-47，函数得最大值为当x=1时，y=-29。 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&8. \ 问函数y=x^2-\frac{54}{x}\ (x \lt 0)在何处取得最小值?&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 函数在(-\infty, \ 0)内可导，y'=2x+\frac{54}{x^2}=\frac{2(x^3+27)}{x^2}，y''=2-\frac{108}{x^3}，\\\\ &\ \ 令y'=0，得x=-3，当x=-3时，y''=6 \gt 0，所以x=-3是极小值点，因函数在(-\infty, \ 0)内驻点唯一，\\\\ &\ \ 所以极小值点就是最小值点，当x=-3时，y=27。 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&9. \ 问函数y=\frac{x}{x^2+1}\ (x \ge 0)在何处取得最大值?&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 函数在[0, \ +\infty)上可导，y'=\frac{x^2+1-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}，y''=\frac{-2x(3-x^2)}{(x^2+1)^3}，\\\\ &\ \ 令y'=0，得x_1=-1，x_2=1，当x=1时，y''=-\frac{1}{2} \lt 0，得出x=1是极大值点，\\\\ &\ \ 因函数在[0, \ +\infty)上驻点唯一，所以极大值点就是最大值点，当x=1时，y=\frac{1}{2}。 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&10. \ 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m长得墙壁，问应围成怎样的长方形才能\\\\&\ \ \ \ \ \ 使这间小屋的面积最大？&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 设小屋的宽为x，长为y，小屋面积S=xy，已知2x+y=20，y=20-2x，所以\\\\ &\ \ S=x(20-2x)=20x-2x^2，x \in (0, \ 10)，则S'=20-4x，S''=-4，令S'=0，得x=5，\\\\ &\ \ 当x=5时，S'' \lt 0，所以x=5为极大值点，因驻点唯一，极大值点就是最大值点，\\\\ &\ \ 当x=5时，y=10，即宽为5m，长为10m时小屋面积最大。 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&11. \ 要造一圆柱形油罐，体积为V，问底半径r和高h各等于多少时，才能使表面积最小？\\\\&\ \ \ \ \ \ 这时底直径与高的比是多少？&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 已知V=\pi r^2h，h=\frac{V}{\pi r^2}，油罐表面积S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+2\pi r \cdot \frac{V}{\pi r^2}=2\pi r^2+\frac{2V}{r}，r \in (0, \ +\infty)，\\\\ &\ \ S'=4\pi r-\frac{2V}{r^2}，S''=4\pi+\frac{4V}{r^3}，令S'=0，得r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}，当r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}时，S''=12\pi \gt 0，\\\\ &\ \ 得r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}是极小值点，因驻点唯一，所以极小值点就是最小值点，h=\frac{V}{\pi r^2}=2r，即2r:h=1:1，\\\\ &\ \ 所以当底半径为\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}，高为2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}时，能使表面积最小，这时底直径与高的比是1：1. & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&12. \ 某地区防空洞得截面拟建成矩形加半圆（图3-19）.截面得面积为5m^2，问底宽x为多少\\\\&\ \ \ \ \ \ 时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？&\end{aligned}$

在这里插入图片描述

解：

$\begin{aligned} &\ \ 设截面周长为l，l=x+2y+\frac{\pi}{2}x，xy+\frac{\pi}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^2=5，即y=\frac{5}{x}-\frac{\pi}{8}x，\\\\ &\ \ 所以l=x+\frac{\pi}{4}x+\frac{10}{x}，x \in \left(0, \ \sqrt{\frac{40}{\pi}}\right)，l'=l+\frac{\pi}{4}-\frac{10}{x^2}，l''=\frac{20}{x^3}，\\\\ &\ \ 令l'=0，得x=\sqrt{\frac{40}{4+\pi}}，当x=\sqrt{\frac{40}{4+\pi}}时，l''=\frac{20}{\sqrt{\left(\frac{40}{4+\pi}\right)^3}} \gt 0，所以x=\sqrt{\frac{40}{4+\pi}}是极小值点，\\\\ &\ \ 又因驻点唯一，所以极小值点就是最小值点，当截面的底宽x=\sqrt{\frac{40}{4+\pi}}时，能使截面的周长最小，\\\\ &\ \ 从而使建造时所用的材料最省。 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&13. \ 设有质量为5kg的物体，置于水平面上，受力F的作用而开始移动（图3-20），设摩擦系数\mu=0.25，\\\\&\ \ \ \ \ \ 问力F与水平线的交角\alpha为多少时，才可使力F的大小为最小。&\end{aligned}$

在这里插入图片描述

解：

$\begin{aligned} &\ \ 力的大小用|F|表示，由|F|cos\ \alpha=(P-|F|sin\ \alpha)\mu知，|F|=\frac{\mu P}{cos\ \alpha+\mu sin\ \alpha}，\alpha \in \left[0, \ \frac{\pi}{2}\right)，\\\\ &\ \ 设y=cos\ \alpha+\mu sin\ \alpha，\alpha \in \left[0, \ \frac{\pi}{2}\right)，y'=-sin\ \alpha+\mu cos\ \alpha，令y'=0，得\alpha_0=arctan\ \mu，\\\\ &\ \ 当\alpha=\alpha_0时，y''=-cos\ \alpha_0-\mu sin\ \alpha_0 \lt 0，所以\alpha_0是极大值点，又因驻点唯一，所以\alpha_0是y=y(\alpha)的最大值点，\\\\ &\ \ 即\alpha=arctan(0.25)，力F的大小为最小。 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&14. \ 有一杠杆，支点在它的一端，在距支点0.1m处挂一质量为49kg的物体，加力于杠杆的另一端使杠杆\\\\&\ \ \ \ \ \ 保持水平（图3-21），如果杠杆的线密度为5kg/m，求最省力的杆长？&\end{aligned}$

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解：

$\begin{aligned} &\ \ 设省力杆长为x，则此时杠杆的重力为5gx，力矩平衡公式x|F|=49g\times 0.1+5gx \cdot \frac{x}{2}\ (x \gt 0)，\\\\ &\ \ 可知|F|=\frac{4.9}{x}g+\frac{5}{2}gx，|F|'=-\frac{4.9}{x^2}g+\frac{5}{2}g，|F|''=\frac{9.8}{x^3}g，令|F|'=0，得x=1.4，\\\\ &\ \ 当x=1.4时，|F|''=\frac{9.8}{(1.4)^3}g \gt 0，所以x=1.4是极小值点，又因驻点唯一，所以极小值点也是最小值点，\\\\ &\ \ 即杆长为1.4m时最省力。 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&15. \ 从一块半径为R得圆铁片上剪去一个扇形做成一个漏斗（图3-22），问留下得扇形的圆心角\varphi取\\\\&\ \ \ \ \ \ 多大时，做成的漏斗的容积最大？&\end{aligned}$

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解：

$\begin{aligned} &\ \ 设漏斗高为h，顶面的圆半径为r，漏斗容积V=\frac{1}{3}\pi r^2h，已知2\pi r=R\varphi，h=\sqrt{R^2-r^2}，\\\\ &\ \ 得V=\frac{R^3}{24\pi^2}\sqrt{4\pi^2\varphi^4-\varphi^6}\ (0 \lt \varphi \lt 2\pi)，V'=\frac{R^3}{24\pi^2}\cdot \frac{16\pi^2\varphi^3-6\varphi^5}{2\sqrt{4\pi^2\varphi^4-\varphi^6}}=\frac{R^3}{24\pi^2}\cdot \frac{8\pi^2\varphi-3\varphi^3}{\sqrt{4\pi^2-\varphi^2}}，\\\\ &\ \ 令V'=0，得\varphi=\sqrt{\frac{8}{3}}\pi=\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi，当0 \lt \varphi \lt \frac{2\sqrt{6}}{3}\pi时，V' \gt 0，所以V在\left[0, \ \frac{2\sqrt{6}}{3}\pi\right]内单调增加，\\\\ &\ \ 当\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi \lt \varphi \lt 2\pi时，V' \lt 0，所以V在\left[\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi, \ 2\pi\right)内单调减少，所以\varphi=\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi是极大值点，\\\\ &\ \ 又因驻点唯一，极大值点也是最大值点，即当\varphi=\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi时，漏斗容积最大。 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&16. \ 某吊车得车身高为1.5m，吊臂长15m，现在要把一个6m宽2m高得屋架（如图3-23(a)），水平地\\\\&\ \ \ \ \ \ 吊到6m高地柱子上去（如图3-23(b)），问能否吊得上去？&\end{aligned}$

在这里插入图片描述

解：

$\begin{aligned} &\ \ 设吊臂对地面的倾角为\varphi，屋架能够吊到最大的高度为h，由15sin\ \varphi=h-1.5+2+3tan\ \varphi可知，\\\\ &\ \ h=15sin\ \varphi-3tan\ \varphi-\frac{1}{2}，h'=15cos\ \varphi-\frac{3}{cos^2\ \varphi}，h''=-15sin\ \varphi-\frac{6sin\ \varphi}{cos^3\ \varphi}，\\\\ &\ \ 令h'=0，得cos\ \varphi=\sqrt[3]{\frac{1}{5}}，即\varphi_0=arccos\ \sqrt[3]{\frac{1}{5}}，当\varphi=\varphi_0时，h'' \lt 0，又因驻点唯一，\\\\ &\ \ 所以\varphi_0是极大值点也是最大值点，当\varphi_0 \approx 54^{\circ}13'时，h_0=15sin\ 54^{\circ}13'-3tan\ 54^{\circ}13'-\frac{1}{2} \approx 7.5m，\\\\ &\ \ 因为柱子高6m，所以能吊上去。 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&17. \ 一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为4000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加200元\\\\&\ \ \ \ \ \ 时，就会多一套公寓租不出去，而租出去得公寓平均每月需花费400元的维修费，试问房租定为多少\\\\&\ \ \ \ \ \ 可获得最大收入？&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 设每套月房租为x元，租不出去的房子套数为\frac{x-4000}{200}=\frac{x}{200}-20，租出去的套数为50-\left(\frac{x}{200}-20\right)=70-\frac{x}{200}，\\\\ &\ \ 租出的每套房子获利(x-400)元，总利润y=\left(70-\frac{x}{200}\right)(x-400)=-\frac{x^2}{200}+72x-28000，\\\\ &\ \ y’=-\frac{x}{100}+72，y''=-\frac{1}{100}，令y'=0，得x=7200，当x=7200时，y'' \lt 0，可知x=7200是极大值点，\\\\ &\ \ 又因驻点唯一，极大值点就是最大值点，即当每套月房租定在7200元时，可获得最大收入。 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&18. \ 已知制作一个背包得成本为40元，如果每一个背包的售出价为x元，售出的背包数由\\\\&\ \ \ \ \ \ n=\frac{a}{x-40}+b(80-x)给出，其中a，b为正常数，问什么样的售出价格能带来最大利润？&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 设利润为p，则p=(x-40)n=a+b(x-40)(80-x)，p'=b(120-2x)，令p'=0，得x=60，\\\\ &\ \ 当x=60时，p'=-2b \lt 0，可知x=60是极大值点，又因驻点唯一，极大值点就是最大值点，\\\\ &\ \ 即售出价格定在60元时能带来最大利润。 & \end{aligned}$