【特征选取】计算数据点曲率

0、引言

为更好地发挥 NURBS 曲线在表达原始数据曲线形状特征方面的优势，非均匀 B 样条插值仍需对原始密集刀位数据点合理地选取特征点。

由于数据点的曲率信息能够很好地反映原始数据曲线的形状特征，把数据点与曲率关联起来进行形状特征点的选取，可以更好地表达原始数据曲线的形状特征。

NURBS 曲线的基本定义

一条 $\rho$ 次 NURBS 曲线定义为

一、计算数据点曲率

采用相邻 3 个数据点形成近似圆弧的方法进行各原始数据点曲率的求解。 如图 1 所示，设原始数据点的个数为 $t+1$， 其中 $i$ 个数据点 $Q_i$ 对应的曲率半径为 $p_i(i=0,1,\dots ,t)$，其近似求解公式为

则第 $i$ 个数据点 $Q_i$ 处对应的曲率为
$$k_i=\frac{1}{{\rho }_i}（4）$$

图1 离散数据点曲率圆及曲率半径的计算

二、曲率段间分段点位置的确定

原始数据曲线按照曲率大小可划分为若干大曲率段和若干小曲率段。大曲率段曲线的弯曲程度较大，应选取较多的特征点才能更好地表达曲线的弯曲特征。小曲率段曲线相对而言则比较平直，选取较少的特征点便可较好地表达曲线的特征。 可见，不同大小曲率段选取的特征点数也会有所差别，有必要研究曲线按曲率进行分段的方法，准确确定出各曲率段间临界分段点的位置。

2.1 分段点位置的初确定

当第 $i$ 个数据点 $Q_i$ 对应的曲率 $k_i$ 与邻近的数据点曲率之间满足如下初确定条件之一时，
$(1)k_{i-j}>k_i,j=1,2,3;$
$(2)k_{i+j}>k_i,j=1,2,3.$

则可以将 $Q_i$ 作为曲线按曲率分段的初确定分段点。

但是考虑原始数据曲线存在曲率跳跃的情况，仅满足上述一个条件尚不足以保证 $Q_i$ 两侧邻近数据点中的一侧数据点曲率远大于另一侧数据点的曲率。因此，还需针对不同情况辅以其他约束条件，以保证分段点的准确性。

2.2 分段点位置的终确定

当第 $i$ 个数据点 $Q_i$ 对应的曲率 $k_i$ 满足条件 (1) 时，记，

其中，$\Delta \overline{k_i^{+}}$表示向前曲率差分之和；$\Delta k_i$ 表示曲率差分极值；符号“+”与“-”分别表示向前与向后差分运算。

如果满足 $\Delta k_i^{-}>\Delta \overline{k_i^{+}}$，且满足 $H\Delta k_i^{+}<\overline{k}$，则可以将曲率值 $k_i$ 对应的数据点 $Q_i$ 作为终确定的分段点，其中，$H$ 为常数，$H$ 通常取值为 $2$~$3$；$\overline{k}$ 为所有数据点曲率的平均值。

同样, 当第 $i$ 个数据点 $Q_i$ 对应的曲率 $k_i$ 满足条件(2)时, 记

参考资料

[1] 曲率自适应条件下特征点选取的非均匀 B 样条曲线插值方法
[2] Nurbs曲线详解 2018.9