剑指Offer 47.礼物的最大值 动态规划

题目

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：

• 0 < grid.length <= 200
• 0 < grid[0].length <= 200

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来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/li-wu-de-zui-da-jie-zhi-lcof
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思路

动态规划

转移方程：

1. 当 i=0 且 j=0 时，为起始元素；
2. 当 i=0 且 j\=0 时，为矩阵第一行元素，只可从左边到达；
3. 当 i=0 且 j=0 时，为矩阵第一列元素，只可从上边到达；
4. 当 i\=0 且 j\=0 时，可从左边或上边到达；

$$dp(i,j)=\{\begin{array}{ll}grid(i,j)& ,i=0,j=0\\ grid(i,j)+dp(i,j-1)& ,i=0,j\ne 0\\ grid(i,j)+dp(i-1,j)& ,i\ne 0,j=0\\ grid(i,j)+\max [dp(i-1,j),dp(i,j-1)]& ,i\ne 0,j\ne 0\end{array}$$

题解

class Solution {
    
    public int maxValue(int[][] grid) {
    
        int m = grid.length,n = grid[0].length;
        for (int i = 0;i < m;i ++){
    
            for (int j = 0;j < n;j++){
    
                if (i == 0 && j == 0) continue;
                if (i == 0) grid[i][j] += grid[i][j-1];
                else if (j == 0) grid[i][j] += grid[i-1][j];
                else grid[i][j] += Math.max(grid[i][j-1],grid[i-1][j]);
            }
        }
        return grid[m-1][n-1];
    }
}