王树尧老师运筹学课程笔记 01 导学与绪论

第1讲 导学与绪论

3个问题

运筹学的目的：寻找一般情况下决策的最优解（最优化问题）

运筹学的来源：军事

本课程干什么：研究应用视角下的运筹学问题

线性规划与运筹学的关系

高中学习的线性规划是运筹学的一部分，线性规划要求目标函数的线性的，约束条件也是线性的，但运筹学研究的情况则更加一般。

同时，线性规划也是一种特殊的非线性规划，也就是说，非线性规划包含线性规划，运筹学包含非线性规划。并且线性规划问题是整个运筹学的核心。

处理非线性规划问题的一般步骤

1. 数学建模
2. 找到最优解或可行解（重点）
   1. 需要一种通用的方法处理函数的最值->通过微积分中的导数或偏导数来求函数的极值和最值。（一般情况下遇到的问题都是可导的，如果不能求导，则需要用定义法求函数的极值和最值。）
      1. 对于一元函数，先令一阶导数为0，找到可疑点，然后判断可疑点附近的函数是增还是减由此判断可疑点是否是极值点，然后再结合闭区间的端点判断最值。（高中知识）
      2. 对于多元函数，约束条件是强约束条件（等号），用Lag乘数法求偏导。（高数下册知识）
      3. 对于多元函数，约束条件是弱约束条件（不等号），用KKT定理求解。（Lag乘数法的推广）

由非线性规划问题回归到处理规划问题

用非线性规划问题的处理方法，结合线性代数的数学工具来处理线性规划问题。并且有一些更特殊的处理方法，即仅能处理线性规划问题的方法，如单纯形法。

函数的自然定义域与真实定义域

自然定义域：在纯数学背景下，函数的定义域。（如分母不为零）

真实定义域：考虑了问题的实际来源之后，函数的定义域。（如人数只能为非负整数）

真实定义域一般是自然定义域的子集。

考虑真实情况下的求解思想：

1. 在自然定义域下求出最优解
2. 在这个最优解的指导下来寻找在真实定义域下的最优解

总结

运筹学的核心是要解决一般视角下的最优化问题，即寻找函数最值的问题。

要处理运筹学问题，首先要数学建模，然后要研究建模得到的函数，根据约束条件是强约束或若约束，选择Lag乘数法或KKT定理进行求解。求解完成后再根据其真实定义域求得其在真实定义域下的最优解。特别地，对于线性规划问题，既可以用一般的处理非线性规划问题的方法进行处理，也可以用一些特殊的方法进行处理。