力扣：62.不同路径

力扣：62.不同路径
题目：
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

代码：dp一题比代码随想录空间利用率高

class Solution {
    
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
    
        int dp[m][n];
// dp[0][0] = 0;
        for(int i = 0; i < m; ++i){
    
            for(int j = 0; j < n; ++j){
    
                if(i== 0 && j==0) {
    
                    dp[0][0] = 1;
                    continue;
                }
                int a = j-1 < 0? 0:dp[i][j-1];
                int b = i-1 < 0? 0:dp[i-1][j];
                dp[i][j] = a+b;
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};

代码随想录代码：

class Solution {
    
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
    
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
        for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
    
            for (int j = 1; j < n; j++) {
    
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};

代码：一维数组的实现

class Solution {
    
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
    
        vector<int> dp(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) dp[i] = 1;
        for (int j = 1; j < m; j++) {
    
            for (int i = 1; i < n; i++) {
    
                dp[i] += dp[i - 1];
            }
        }
        return dp[n - 1];
    }
};

代码：数论方法
无论怎么走，走到终点都需要 m + n - 2 步，在这m + n - 2 步中，一定有 m - 1 步是要向下走的，此时就是一个组合问题了，判断m-1步是哪几步即可。
求组合的时候，要防止两个int相乘溢出！ 所以不能把算式的分子都算出来，分母都算出来再做除法。需要在计算分子的时候，不断除以分母，

class Solution {
    
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
    
        long long numerator = 1; // 分子
        int denominator = m - 1; // 分母
        int count = m - 1;
        int t = m + n - 2;
        while (count--) {
    
            numerator *= (t--);
            while (denominator != 0 && numerator % denominator == 0) {
    
                numerator /= denominator;
                denominator--;
            }
        }
        return numerator;
    }
};