深度之眼（三）——矩阵的行列式

一、行列式的定义

1.1 二阶行列式

二阶行列式：主对角线相乘 - 副对角线相乘

1.2 三阶行列式

暂时不管怎么算的
D2的话就是吧第二列换成b₁、b₂、b₃，D3就是把第三列换成换成b₁、b₂、b₃，

二、行列式的计算

2.1 全排列和逆序列

2.2 计算定义

首先看是n*n的矩阵有n的全排列，正负号由逆序数决定，逆序数为奇数，则为负，逆序数为偶数，则为正，依次可推广

三、特殊矩阵的行列式与行列式的性质

3.1 特殊矩阵的行列式

根据这个，观察某一项，可知，都是从第一行中取出一个乘以第二行中取出与第一行的不同列，依次类推，形成求和项。


所以，针对第一幅图（主对角矩阵），虽然有n的全排列，但是既满足不会有0的一项（因为有0的话，这个项就是0了），又要满足不同列，所以只有主对角线相乘，正负号由于是正常排序，所以逆序数为0，所以为正号

第二幅图（负对角矩阵）（第一幅图的下面那张）只有符号问题，进行计算即可

第三张图，下三角矩阵
第一行只会取第一列（因为其他列都是0，乘起来为0，无影响），第二行就只会取第二列了，以此类推，还是和第一张图一样

3.2 行列式的性质

这个的话，自己推一遍，主要理解本质，这些性质只是对本质进行提炼归纳，不要死记

四、行列式按行（列）展开，代数余子式

降阶处理，用低阶的行列式来计算高阶的行列式

就是利用在特殊矩阵那得想法，某一行或者某一列只有一个不为0，则则对于那行而言只有那列有效，而那一列根据其余行不同的原则，所以不用看，因此得到上述结论

定理3

推论

五、行列式在线性方程组中的应用：克莱姆法则

克莱姆法则（理想化）：未知数与方程组数相同，且方程的系数行列式不等于0，则方程有唯一解

D_j把对应列去掉，换成b的常数列

左边非齐次，右边齐次