傅里叶级数

傅里叶级数理论：周期为 $2\pi$ 的周期函数 $f(x)$ ，可以写作一系列三角函数的线性组合：
$$f(x)=a_{0}cos0+b_{0}sin0+a_{1}cosx+b_{1}sinx+a_{2}cos2x+b_{2}sin2x+...+a_{n}cosnx+b_{n}sinnx$$

从二维平面中，正交基谈起：

假定 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 相互正交，它们的线性组合可以表示平面中任意一个向量 $\vec{v}$：
$$\vec{v}=n\vec{a}+m\vec{b}$$
对于系数 $n,m$ 可以用如下方式求解：
$$\vec{v}\cdot \vec{a}=n\vec{a}\cdot \vec{a}+m\vec{b}\cdot \vec{a}$$
由于$\vec{a}，\vec{b}$相互正交，所以它们点乘的结果为0：
$$\begin{gathered} \vec{v}\cdot \vec{a}=n\vec{a}\cdot \vec{a} \\ n=\frac{\vec{v}\cdot \vec{a}}{\vec{a}\cdot \vec{a}} \end{gathered}$$
同理：
$$m=\frac{\vec{v}\cdot \vec{b}}{\vec{b}\cdot \vec{b}}$$

如果${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=0$，即点乘的结果为0，则认为两个函数$f(x)$，$g(x)$是正交的。

与向量的正交基类似，一组函数形式的正交基的线性组合，同样可以表示相同区间的任意一个函数。

一、$[0,2\pi ]$

而三角函数集合：$\{cos0,sin0,cosx,sinx,cos2x,sin2x,......,cosnx,sinnx\}$中，由于任意两个不同的函数在区间 $[0,2\pi ]$ 内的点乘结果为0，每个函数与自己点乘的结果为 $\pi$，所以可认为是区间 $[0,2\pi ]$ 内的一组正交基。

因此，区间 $[0,2\pi ]$ 内的任意一个函数都可用这组基的线性组合表示：
$$f(x)=a_{0}cos0+b_{0}sin0+a_{1}cosx+b_{1}sinx...+a_{n}cosnx+b_{n}sinnx$$
也就是文章一开始提到的傅里叶级数理论。

与上文中二维平面部分的系数求解方法类似，这里的系数同样可以类似的方式求解：
$$a_n=\frac{{\int }_0^{2\pi }f(x)cosnxdx}{{\int }_0^{2\pi }cosnxcosnxdx}=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)cosnxdx,n\in N$$
$$b_n=\frac{{\int }_0^{2\pi }f(x)sinnxdx}{{\int }_0^{2\pi }sinnxsinnxdx}=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)sinnxdx,n\in N$$
式子最前面的两项：
$$a_{0}cos0+b_{0}sin0=a_{0}cos0+0=a_0=\frac{{\int }_0^{2\pi }f(x)cos0dx}{{\int }_0^{2\pi }cos0cos0dx}=\frac{{\int }_0^{2\pi }f(x)dx}{{\int }_0^{2\pi }1dx}=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)dx$$

后面部分写成累加的形式：
$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{+\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)$$

二、$[0,2l]$

一中的区间局限在 $[0,2\pi ]$，可通过伸缩的方式使区间扩展到 $[0,2l]$ ：

如 $cosx$ 的周期为$T=\frac{2\pi }{w}=\frac{2\pi }{1}=2\pi$ 在 $2\pi$ 处会开始重复，想让它的周期变为 $2l$，即在 $2l$ 处进入重复， 即 $T=\frac{2\pi }{w}=2l$，得：$w=\frac{2\pi }{2l}=\frac{\pi }{l}$

$cosx$ 变为 $cos\frac{\pi }{l}x$ 即可满足要求

另一方面，虽然 $cos2x$ 的周期为 $\pi$，但它仍会在 $2\pi$ 处开始重复，即 $2\pi$ 仍是 $cos2x$ 的一个周期，其他 $cosnx$ 同理

全部经过伸缩后：

$\{cos\frac{\pi }{l}nx,sin\frac{\pi }{l}nx|n\in N\}$就同样都有一个最小公共周期 $2l$，且由于它们仍然保持相互正交的关系，和自身的点乘结果为 $l$，因此该集合仍是一组基，此时它的线性组合可以表示 $[0,2l]$ 内的任意一个函数。

$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{+\infty }(a_{n}cos\frac{\pi }{l}nx+b_{n}sin\frac{\pi }{l}nx)$$
与一中同理，$a_0$ 是线性组合的前两项：
$$\begin{gathered} a_{0}cos\frac{\pi }{l}0+b_{0}sin\frac{\pi }{l}0 \\ =a_{0}cos0+b_{0}sin0 \\ =a_0 \\ =\frac{{\int }_0^{2l}f(x)cos\frac{\pi }{l}0dx}{{\int }_0^{2l}cos\frac{\pi }{l}0cos\frac{\pi }{l}0dx} \\ =\frac{{\int }_0^{2l}f(x)cos0dx}{{\int }_0^{2l}cos0cos0dx} \\ =\frac{1}{2l}{\int }_0^{2l}f(x)dx \end{gathered}$$
另外两个系数：
$$a_n=\frac{{\int }_0^{2l}f(x)cos\frac{\pi }{l}nxdx}{{\int }_0^{2l}cos\frac{\pi }{l}nxcos\frac{\pi }{l}nxdx}=\frac{1}{l}{\int }_0^{2l}f(x)cos\frac{\pi }{l}nxdx,n\in N$$
$$b_n=\frac{{\int }_0^{2l}f(x)sin\frac{\pi }{l}nxdx}{{\int }_0^{2l}sin\frac{\pi }{l}nxsin\frac{\pi }{l}nxdx}=\frac{1}{l}{\int }_0^{2l}f(x)sin\frac{\pi }{l}nxdx,n\in N$$

三、借助欧拉公式进一步化简（另一组基）

令 $\frac{\pi }{l}=w$，区间还是在 $[0,2l]$ ：
$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{+\infty }(a_{n}cos(nwx)+b_{n}sin(nwx))\text{\hspace{1em}(1)}$$

欧拉公式：
$$\begin{gathered} e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta \\ {e}^{-i\theta }=cos\theta -isin\theta \end{gathered}$$
即：
$$\begin{gathered} e^{inwx}=cos(nwx)+isin(nwx) \\ {e}^{-inwx}=cos(nwx)-isin(nwx) \end{gathered}$$
于是：
$$\begin{gathered} cos(nwx)=\frac{e^{inwx}+e^{-inwx}}{2} \\ sin(nwx)=\frac{e^{inwx}-e^{-inwx}}{2i} \end{gathered}$$
将上面两式代入式（1），得：
$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{+\infty }(a_n\frac{e^{inwx}+e^{-inwx}}{2}+b_n\frac{e^{inwx}-e^{-inwx}}{2i})$$
下面开始化简：
$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{+\infty }(a_n\frac{e^{inwx}+e^{-inwx}}{2}+i{b}_n\frac{e^{inwx}-e^{-inwx}}{2i^2})$$
由于$i^2=-1$：
$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{+\infty }(a_n\frac{e^{inwx}+e^{-inwx}}{2}-i{b}_n\frac{e^{inwx}-e^{-inwx}}{2})$$
$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{+\infty }(\frac{a_n{e}^{inwx}-i{b}_n{e}^{inwx}}{2}+\frac{a_n{e}^{-inwx}+i{b}_n{e}^{-inwx}}{2})$$
$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{+\infty }(\frac{a_n-i{b}_n}{2}{e}^{inwx}+\frac{a_n+i{b}_n}{2}{e}^{-inwx})\text{\hspace{1em}(2)}$$
由于：
$$\begin{gathered} a_n=\frac{1}{l}{\int }_0^{2l}f(x)cos(nwx)dx \\ {b}_n=\frac{1}{l}{\int }_0^{2l}f(x)sin(nwx)dx \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} a_{-n}=\frac{1}{l}{\int }_0^{2l}f(x)cos(-nwx)dx \\ =a_n \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} b_{-n}=\frac{1}{l}{\int }_0^{2l}f(x)sin(-nwx)dx \\ =-b_n \end{gathered}$$
于是式（2）可以整合：
$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{+\infty }(\frac{a_n-i{b}_n}{2}{e}^{inwx}+\frac{a_n+i{b}_n}{2}{e}^{-inwx})$$
$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{a_n-i{b}_n}{2}{e}^{inwx}+\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{a_{-n}-i{b}_{-n}}{2}{e}^{-inwx}$$
$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{a_n-i{b}_n}{2}{e}^{inwx}+\sum _{n=-\infty }^{-1}\frac{a_n-i{b}_n}{2}{e}^{inwx}$$
$$f(x)=\sum _{n=0}^0{a}_n{e}^{inwx}+\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{a_n-i{b}_n}{2}{e}^{inwx}+\sum _{n=-\infty }^{-1}\frac{a_n-i{b}_n}{2}{e}^{inwx}$$
最终整合成一个累加符号：
$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n{e}^{inwx}\text{\hspace{1em}(3)}$$
当 $n=0$ 时，
$$c_n=a_0$$
当 $n\ne 0$ 时，
$$c_n=\frac{a_n-i{b}_n}{2}$$
$$=\frac{\frac{1}{l}{\int }_0^{2l}f(x)cos(nwx)dx-i\frac{1}{l}{\int }_0^{2l}f(x)sin(nwx)dx}{2}$$
$$=\frac{\frac{1}{l}{\int }_0^{2l}f(x)cos(nwx)dx-\frac{1}{l}{\int }_0^{2l}f(x)isin(nwx)dx}{2}$$
$$=\frac{1}{2l}{\int }_0^{2l}f(x)[cos(nwx)-isin(nwx)]dx$$
$$=\frac{1}{2l}{\int }_0^{2l}f(x)e^{-inwx}dx$$

$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n{e}^{inwx}\text{\hspace{1em}(3)}$$
式（3）意味着 $f(x)$ 还能由另一组基的线性组合表示，该组基是复指数函数的集合：
$$\{...,e^{-i2wx},e^{-iwx},e^0,e^{iwx},e^{i2wx},...\}$$
$$\{e^{inwx}|n\in Z\}$$
总结一下，傅里叶级数最终可以写成另一组基 $\{e^{inwx}|n\in Z\}$ 的线性组合：
$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n{e}^{inwx}$$
其中，$c_n$ 是复数，

当 $n=0$ 时，$c_n=a_0$

当 $n\ne 0$ 时，$c_n=\frac{a_n-i{b}_n}{2}=\frac{1}{2l}{\int }_0^{2l}f(x)e^{-inwx}dx$

参考：
1.傅里叶变换推导详解
https://zhuanlan.zhihu.com/p/77345128
2.傅里叶级数与傅里叶变换
https://zhuanlan.zhihu.com/p/366974965
3.我理解的傅里叶变换
https://zhuanlan.zhihu.com/p/23739221
4.如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧
https://zhuanlan.zhihu.com/p/19759362