Leetcode（34）——在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

题目

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 $nums$，和一个目标值 $target$。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 $target$，返回 $[-1,-1]$。

你必须设计并实现时间复杂度为 $O(\log n)$ 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]

示例 2：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]

示例 3：

输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]

提示：

• $0$ <= nums.length <= $10^5$
• $-10^9$ <= nums[i] <= $10^9$
• nums 是一个非递减数组
• $-10^9$ <= target <= $10^9$

题解

方法一：暴力破解

思路

​​  直观的思路肯定是从前往后遍历一遍。用两个变量记录第一次和最后一次遇见 $\text{target}$ 的下标，但这个方法的时间复杂度为 $O(n)$，没有利用到数组升序排列的条件。

代码实现

我自己的：

class Solution {
    
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
    
        vector<int> ans(2, -1);
        int l = 0, r = nums.size()-1;
        while(l <= r){
    
            if(nums[l] == target){
    
                ans[0] = l;
                break;
            }
            l++;
        }
        if(l > r) return ans;
        while(l <= r){
    
            if(nums[r] == target){
    
                ans[1] = r;
                break;
            }
            r--;
        }
        return ans;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是数组 nums 的长度
空间复杂度：$O(1)$

方法二：二分查找

思路

​​  由于数组已经排序，因此整个数组是单调递增的，我们可以利用二分法来加速查找的过程。

​​  考虑 $\text{target}$ 开始和结束位置，其实我们要找的就是数组中「第一个等于 $\text{target}$ 的位置」（记为 $\text{leftIdx}$）和「第一个大于 $\text{target}$ 的位置减一」（记为 $\text{rightIdx}$）。

​​  二分查找中，寻找 $\text{leftIdx}$ 即为在数组中寻找第一个大于等于 $\text{target}$ 的下标，寻找 $\text{rightIdx}$ 即为在数组中寻找第一个大于 $\text{target}$ 的下标，然后将下标减一。两者的判断条件不同，为了代码的复用，我们定义 binarySearch(nums, target, lower) 表示在 $\text{nums}$ 数组中二分查找 $\text{target}$ 的位置，如果 $\text{lower}$ 为 $\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{e}$，则查找第一个大于等于 $\text{target}$ 的下标，否则查找第一个大于 $\text{target}$ 的下标。

​​  最后，因为 $\text{target}$ 可能不存在数组中，因此我们需要重新校验我们得到的两个下标 $\text{leftIdx}$ 和 $\text{rightIdx}$，看是否符合条件，如果符合条件就返回 $[\text{leftIdx},\text{rightIdx}]$，不符合就返回 $[-1,-1]$。

代码实现

Leetcode 官方题解：

class Solution {
     
public:
    int binarySearch(vector<int>& nums, int target, bool lower) {
    
        int left = 0, right = (int)nums.size() - 1, ans = (int)nums.size();
        while (left <= right) {
    
            int mid = (left + right) / 2;
            if (nums[mid] > target || (lower && nums[mid] >= target)) {
    
                right = mid - 1;
                ans = mid;
            } else {
    
                left = mid + 1;
            }
        }
        return ans;
    }

    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
    
        int leftIdx = binarySearch(nums, target, true);
        int rightIdx = binarySearch(nums, target, false) - 1;
        if (leftIdx <= rightIdx && rightIdx < nums.size() && nums[leftIdx] == target && nums[rightIdx] == target) {
    
            return vector<int>{
    leftIdx, rightIdx};
        } 
        return vector<int>{
    -1, -1};
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(\log n)$，其中 $n$ 为数组的长度。二分查找的时间复杂度为 $O(\log n)$，一共会执行两次，因此总时间复杂度为 $O(\log n)$
空间复杂度：$O(1)$