原码、补码、反码

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前言

原码、反码、补码的预备知识是进制转换，有需要的请参考：数据的表示方法和转换（二进制、八进制、十进制、十六进制）

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一、真值与机器数

二、原码

1.原码的特点

***非常接近真值。**当运算结果不超出机器能表示的范围时，运算结
果仍为原码表示。
* 符号位不能参与运算。
• 当两数相加时，先要判断两数的符号，如果是同号，则相加；如果是异号，
则相减。
• 当两数相减时，先要比较两数绝对值大小，再用大绝对值减小绝对值，最后
确定运算结果正负号。
* 数值零表示结果不唯一。（有+0和-0之分）

2.原码表示法

机器数的最高位为符号位，0表示正数，1表示负数，数值跟随其后，并以绝对值形式给出。

[X]原=符号位+|X|

数的原码与真值之间的关系比较简单，其算术运算规则与十进制运算规则类似，当运算结果不超出机器能表示的范围时，运算结果仍以原码表示。它最大的缺点是在机器中进行加减法运算时比较复杂。例如，当两数相加时，要先判别符号，同号相加，异号相减。而进行减法运算又要先比较两数绝对值的大小，再用大绝对值减去小绝对值，最后还要确定运算结果的正负号。

原码最大的问题就在于一个数加上他的相反数不等于零：
正数原码之间的加法通常是不会出错的，因为它就是一个很简单的二进制加法。
而正数与负数相加，或负数与负数相加，就要引起不正确的结果，这都是符号位引起的。0分为+0和-0也是因它而起。
所以原码，虽然直观易懂，易于正值转换。但用来实现加减法的话，运算规则总归是太复杂。

三、补码（※）

1.补码的特点

补码的特点
* 用补码表示的两数进行加法运算，其结果仍为补码。
* 符号位与数值位一样参与运算。
* 数值“零”的补码表示形式是唯一的。
* [X + Y]补 = [X]补 + [Y]补

2.补码表示法

机器数的最高位为符号位，0表示正数，1表示负数，数值跟随其后，并以绝对值形式给出。

正数和零的补码是其本身，负数的补码按照各位取反末位加1的方式得到。
例题：

这里给出真值转补码的方法：首先X值为负，确定符号位为1（负），即原码为1,1100011，我们把后七位按照各位取反末位加1的方式得到补码，原理解释如下：根据上方给出的补码换算方式我们知可以用10000000+(-1100011)=1111111+1-1100011=10011101，即补码为1,0011101。其实还有更方便我们使用的规律存在，我在这里简述并举例。

规律为：自低位开始转换，从低位向高位，在遇到第一个1之前，保持各位的0不变，第一个1也不变，以后的各位按位取反，最后保持符号位不变，经历一遍后，即可得到补码。
例子：[X]原=1,1101010则从低位向高位，末尾的10不变，前面的各位按位取反，得到[X]补=1,0010110即为所求。
注意：符号位不参与补码的取反法则，0表示正数，1表示负数。

3.门电路符号

实现加法运算的逻辑示例：

四、反码

机器码的最高位为符号，0表示正数，1表示负数。

1.反码的特点

反码的特点
* 在最高位有进位时，要在最低位+1
* 反码零有两种表示形式

2.反码的表示

快捷转换方法：符号位保持不变，正数的数值部分不变，负数的数值部分按位取反。（与补码的区别是末位不用加一）

反码的正+正与正+负结果不会出错，而负加负会出现结果有误的情况。我们只需要加实现两个负数加法时，将两个负数反码包括符号位全部按位取反相加，然后再给他的**符号位强行置‘1’**就可以了。

五、强化练习

【解析】冯·诺依曼结构计算机中数据采用二进制编码表示的原因有：①技术实现简单，即制造两个稳态的物理器件较容易；②适合逻辑运算，便于用逻辑门电路实现算术运算；③简化运算规则，提高运算速度。因此Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ都是其采用二进制的原因。

【解析】我们要抓住关键词：二进制补码，最小整数。数值的绝对值补码越大其原码越小，二者呈相反的关系，当考虑负数时，数值的绝对值越大，真实表示的数值越小，因此保证符号位为1的情况下，我们使补码取得最小值时表示的整数最小。由此可得该补码为：1,0000011，换算回原码为：1,1111101=-(64+32+16+8+4+1)=-125;

【解析】若X,Y,Z为无符号整数，X,Y,Z机器数的各位都用来表示数值，直接按照十六进制大小确定数的大小关系，显然FFFDH>FFDFH>7FFCH，故X>Y>Z，得A、B选项不正确。若X,Y,Z为有符号整数，用补码表示，X,Y,Z机器数的第一位表示符号，剩余各位用来表示数值，可以通过移码来判断数的大小关系。将补码的符号位取反可得移码，于是有X,Y,Z的移码：7FFDH,7FDFH,FFFCH，显然7FDFH<7FFDH（X,Y,Z机器数的第一位表示符号后，z为正数，x,y为负数，且x的数值真值比y大，则看绝对值数值补码x比y小，又x,y为负数故x大于y，答案为若x,y和z为带符号整数，则y<x<z，选D）

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几种码制的总结

这里推荐一篇写的不错的博文：原码，反码，补码的深入理解与原理
正数：原码、补码、反码的处理原则一致，即符号位为0，其余数不变。
负数：原码、补码、反码的符号位均为1，但其规则各不相同。
负数原码：数值位不变，原码最大的问题就在于一个数加上他的相反数不等于零。
负数补码：数值各位按位取反，末位加一。
负数反码：数值各位按位取反， 在最高位有进位时，要在最低位+1。
三种码中只有补码0是唯一的，原码和反码的0具有不唯一性。

三种机器数的比较
* 正数都等于真值本身，负数各不相同
* 最高位都表示符号位，补码和反码的符号位可以和数值位一起参与运
算，但原码的符号位必须分开进行处理
* 对于真值0，原码和反码各有两种不同的表示形式，而补码只有唯一
的一种表示形式
* 原码、反码表示的正负数范围是对称的，但补码负数能够表示一个最
负的数（绝对值最大的负数），其值等于-2n或-1。