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MATLAB程序设计与应用 2.5 MATLAB运算

2022-08-01 06:23:00 【Ding Jiaxiong】

MATLAB程序设计与应用

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2. 第2章 MATLAB数据及其运算

2.5 MATLAB运算

MATLAB的运算都是针对矩阵而言的,既有矩阵意义下的运算，也有针对矩阵元素的运算。就运算的性质而言，有算术运算、关系运算和逻辑运算。

2.5.1 算术运算

  1. 基本算术运算

    MATLAB的基本算术运算有+（加)、-(减)、*(乘)、/（右除)、\(左除)、^(乘方)。

    • 矩阵加减运算

      若A和B同型，则可以执行矩阵的加减运算，A和B的相应元素相加减。如果A与B不同型，则MATLAB将给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数或大小不匹配。

      一个标量也可以和矩阵进行加减运算，这时把标量和矩阵的每一个元素进行加减运算。

      >> x = [2,-1,0;3,2,-4];
>> y = x - 1

y =

     1    -2    -1
     2     1    -5

    • 矩阵乘法

      假定有两个矩阵A和B,若A为mxn矩阵，B为nxp矩阵，则C=A×B为mxp矩阵，其各个元素为：

      在这里插入图片描述

      >> A = [1,2,3;4,5,6];
>> B = [1,2;3,0;7,4];
>> C = A * B

C =

    28    14
    61    32

      矩阵A和B进行乘法运算，要求A的列数与B的行数相等，此时则称A、B矩阵是可乘的，或称A和B两矩阵维数和大小相容。如果两者的维数或大小不相容，则将给出错误信息，提示用户两个矩阵是不可乘的。

      在 MATLAB中，还可以进行矩阵和标量相乘运算，标量可以是乘数也可以是被乘数。矩阵和标量相乘是矩阵中的每个元素与此标量相乘。

    • 矩阵除法

      在MATLAB中，有两种矩阵除法运算:\和/，分别表示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵,则A\B和B/A运算可以实现。A\B等效于A的逆左乘B矩阵，也就是inv(A)*B;而B/A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵，也就是B*inv(A)。

      对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同,对于矩阵运算，一般 A\B≠B/A。

      >> A = [1,2,3;4,2,6;7,4,9];
>> B = [4,3,2;7,5,1;12,7,92];
>> C1 = A \ B

C1 =

    0.5000   -0.5000   44.5000
    1.0000    0.0000   46.0000
    0.5000    1.1667  -44.8333

>> C2 = B / A

C2 =

   -0.1667   -3.3333    2.5000
   -0.8333   -7.6667    5.5000
   12.8333   63.6667  -36.5000

>> C3 = A / B

C3 =

    7.9623   -4.2453   -0.0943
   -4.5472    2.9434    0.1321
   -5.1321    3.6415    0.1698

>> C4 = B \ A

C4 =

    6.0755   -3.3396    2.6038
   -7.6792    5.0566   -2.4340
   -0.1321    0.0943   -0.0566

    • 矩阵的乘方

      一个矩阵的乘方运算可以表示成A^x,要求A为方阵,x为标量。

      >> A = [1,2,3;4,5,6;7,8,0];
>> A ^ 2

ans =

    30    36    15
    66    81    42
    39    54    69
A ^ 2 = A * A

      矩阵的开方

      >> A = [1,2,3;4,5,6;7,8,0];
>> A ^ 0.1

ans =

   0.9750 + 0.2452i   0.1254 - 0.0493i   0.0059 - 0.0604i
   0.2227 - 0.0965i   1.1276 + 0.1539i   0.0678 - 0.1249i
   0.0324 - 0.1423i   0.0811 - 0.1659i   1.1786 + 0.2500i

  2. 点运算

    在 MATLAB 中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有.*、./、.\和.^。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵同型。

    >> A = [1,2,3;4,5,6;7,8,9];
>> B = [-1,0,1;1,-1,0;0,1,1];
>> C = A .* B

C =

    -1     0     3
     4    -5     0
     0     8     9

    A.*B表示A和B单个元素之间对应相乘，显然与A*B的结果不同。

    如果A、B两矩阵同型，则A./B表示A矩阵除以B矩阵的对应元素。B.\A 等价于A./B。

    >> A = [1,2,3;4,5,6];
>> B = [-2,1,3;-1,1,4];
>> C1 = A ./ B

C1 =

   -0.5000    2.0000    1.0000
   -4.0000    5.0000    1.5000

>> C2 = B .\ A

C2 =

   -0.5000    2.0000    1.0000
   -4.0000    5.0000    1.5000

    显然，A./B和B.\A值相等。这与矩阵的左除、右除是不一样的。

    若两个矩阵同型，则A.^B表示两矩阵对应元素进行乘方运算。

    >> A = [1,2,3];
>> B = [4,5,6];
>> C = A .^ B

C =

     1    32   729

    指数可以是标量

    >> A = [1,2,3];
>> C = A .^ 2

C =

     1     4     9

    底数也可以是标量

    >> A = [1,2,3];
>> B = [4,5,6];
>> C = 2 .^ [A B]

C =

     2     4     8    16    32    64

    点运算是MATLAB很有特色的一个运算符,在实际应用中起着很重要的作用。

    当x=0.1、0.4、0.7、1时,分别求y=sinxcosx的值。

    >> x = 0.1:0.3:1;
>> y = sin(x) .* cos(x)

y =

    0.0993    0.3587    0.4927    0.4546

>> y = sin(x) * cos(x)
错误使用  * 
用于矩阵乘法的维度不正确。请检查并确保第一个矩阵中的列数与第二个矩阵中的行数匹配。要单独对矩阵的每个元素进行运算，请使
用 TIMES (.*)执行按元素相乘。

    如果x只有一个值，才能直接用乘法

2.5.2 关系运算

MATLAB提供了6种关系运算符:<(小于)、<=(小于或等于)、>(大于)、>=(大于或等于)、=(等于)、~=(不等于)。它们的含义不难理解，但要注意其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。MATLAB还提供了与6种关系运算符对应的函数lt、le、gt、ge、eq、ne。

  • 当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小。若关系成立，关系表达式结果为1,否则为0

    >> 12 > 3

ans =

  logical

   1

>> eq(2,3)

ans =

  logical

   0

  • 当参与比较的量是两个同型的矩阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行,并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个与原矩阵同型的矩阵,它的元素由0或1组成。

  • 当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个与原矩阵同型的矩阵，它的元素由0或1组成。

【产生5阶随机方阵A，其元素为[10,90]区间的随机整数，然后判断A的元素是否能被3整除。】

>> A = fix((90 - 10 + 1) * rand(5) + 10)

A =

    75    17    22    21    63
    83    32    88    44    12
    20    54    87    84    78
    83    87    49    74    85
    61    88    74    87    64

>> P = rem(A , 3) == 0

P =

  5×5 logical 数组

   1   0   0   1   1
   0   0   0   0   1
   0   1   1   1   1
   0   1   0   0   0
   0   0   0   1   0

关系运算函数

函数名含义
all若向量的所有元素非零，则结果为1，否则为0
any若向量中任何一个元素非零，则结果为1，否则为0
exist检查变量在工作空间中是否存在,若存在,则结果为1，否则为0
find找出向量或矩阵中非零元素的位置
isempty若被查变量是空矩阵,则结果为1，否则为0
isinf若元素是+(-)inf，则结果矩阵相应位置元素取1,否则取0
isnan若元素是 nan,则结果矩阵相应位置元素取否则取0
isfinite若元素值大小有限，则结果矩阵相应位置元素取1,否则取0
isinteger若被查变量是整型,则取1,否则取0
isnumeric若被查变量是数值型，则取1，否则取0
isreal若被查变量是实数,则取1,否则取0
isfloat若被查变量是浮点型，则取1,否则取0

【建立矩阵A，然后找出大于4的元素的位置,并输出相应位置的元素。】

>> A = [4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0]

A =

     4   -65   -54     0     6
    56     0    67   -45     0

>> k = find(A > 4)

k =

     2
     6
     9

>> A(k)

ans =

    56
    67
     6

find 函数得到的矩阵元素的位置是以相应元素的序号来表示的。

2.5.3 逻辑运算

MATLAB提供了3种逻辑运算符:&(与)、|(或）和～（非)。此外，还提供了4个逻辑运算函数:and(a,b)、or(a,b)、not(a)和 xor(a,b)，分别代表与、或、非、异或运算。

在逻辑运算中，非零元素为真，用1表示;零元素为假，用0表示。设参与逻辑运算的是两个标量a和b,那么，逻辑运算的含义：

  • a&b或函数and(a, b):当a、b全为非零时，结果为1，a、b只要有一个为零则结果为0。
  • a|b或函数or(a, b):当a、b中只要有一个非零，结果为1，a、b全为零时结果为0。
  • ～a和函数not(a):当α是零时，结果为1:当α非零时，结果为0。
  • 函数xor(a, b):当a、b的值不同时，结果为1;当a、b的值相同时，结果为0。

运算法则：

  1. 若参与逻辑运算的是两个同型矩阵，那么运算将对矩阵相同位上的元素按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与原矩阵同型的矩阵，其元素由1或0组成。
  2. 若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与矩阵同型的矩阵，其元素由1或0组成。
  3. 逻辑非是单目运算符,也服从矩阵运算规则。
>> A = [4,65,-54,0,-6];
>> B = [0,5,3,2,-6];
>> A & B

ans =

  1×5 logical 数组

   0   1   1   0   1

>> xor(A > 10 , B < 10)

ans =

  1×5 logical 数组

   1   0   1   1   1

在算术运算、关系运算和逻辑运算中，算术运算优先级最高,逻辑运算优先级最低。

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