矩阵的Jordan分解实例

矩阵的Jordan分解：标准型 + 变换矩阵

〇、题目

题目来自《计算机科学计算》第二版，编者张宏伟，金光日，施吉林，董波。书P86第12题。

求矩阵$A=\left[\begin{array}{cccc}4& -1& -1& 0\\ 4& 0& -2& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 6& 1\end{array}\right]$ 的Jordan分解。

一、求出其Jordan标准型

计算$det(\lambda I-A)=\left|\begin{array}{cccc}\lambda -4& 1& 1& 0\\ -4& \lambda & 2& 0\\ 0& 0& \lambda -2& 0\\ 0& 0& -6& \lambda -1\end{array}\right|$。

解得特征值为${\lambda }_1=1$（一重代数重数），${\lambda }_2=2$（三重代数重数、阶数）。

计算$rank({\lambda }_{2}I-A)=2$，得到${\lambda }_2$的几何重数为2，即其Jordan块数为2，由于阶数为3，可以得到其两个Jordan块必然为$1+2$的格式。
可得Jordan标准型为：$J=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]$。

二、求其变换矩阵T

由定义$A\cdot (T_1,T_2,T_3,T_4)=(T_1,T_2,T_3,T_4)\cdot J$

二、一、第一个特征值

以下求解，以上标表示块序号，下标表示块内序号。

对于${\lambda }_1=1$，求其线性无关的特征向量。
$A\cdot t^1={\lambda }_1\cdot t^1$，解的一个向量为$t^1=(0,0,0,1{)}^T$，由于其为一重几何重数，可以直接作为Jordan链首。

二、二、第二个特征值

同理，解方程$(A-{\lambda }_{2}I)\cdot t^2=0$

$\left[\begin{array}{cccc}2& -1& -1& 0\\ 4& -2& -2& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 6& 1\end{array}\right]\cdot t^2=0$

解得：$t_1^3=t_1^2=(1,1,1,6{)}^T，t_2^3=t_2^2=(0,0,1,6{)}^T$

前面已知${\lambda }_2=2$分为两块，一块阶数(链长)为1，一块阶数为2。
这里可以直接得到阶数为1得链首，$t^2=(1,1,1,6{)}^T$

对于链长为2的链，为了保证一定可以由链首推出第二环，即以下方程有解。$(y为链首t_1^3，z为第二环t_2^3)$
$$(A-{\lambda }_{2}I)\cdot z=y$$

令$y=k_1\cdot t_1^3+k_2\cdot t_2^3=(k_1+k_2,2k_1-k_2,k_2,6k_2{)}^T$

其有解的条件为$r(A-{\lambda }_{2}I)=r((A-{\lambda }_{2}I)|y)$。

可求得$k_2=0,k_1=1$，即 $y=(1,2,0,0{)}^T$，代入原方程，可以得到 $z=(1,1,0,0{)}^T$。

综合得到其变换矩阵为：$T=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 2& 1\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 6& 0& 0\end{array}\right]$。

三、科学验算

使用在线计算器云算子，验证 $A=TJ{T}^{-1}$。

验算正确，以下为其 $T^{-1}$ 值。

$T^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& -6& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ -1& 1& 0& 0\\ 2& -1& -1& 0\end{array}\right]$