牛顿定理和相关推论

摘自 《高中数学竞赛解题策略·几何分册》牛顿定理, 全文插图请见 link

牛顿定理. 四边形 $ABCD$ 有一内切圆, 分别切 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ 于点 $E$, $F$, $G$, $H$. 则四边形对角线交点和两条对边切点的连线相交于同一点.

证明: 我们先证明凸四边形的情形.

引理. $EG$, $FH$, $BD$ 交于一点, 设该点为 $M$, 且 $BM/DM=BE/HD$.

分别设 $EG$, $FH$ 交 $BD$ 于点 $M_1$, $M_2$. $\frac{B{M}_1}{D{M}_1}=\frac{S_{△BE{M}_1}}{S_{△DG{M}_1}}\cdot \frac{G{M}_1}{E{M}_1}$. 由于 $\angle AEG=\angle DGE$, $\frac{S_{△BE{M}_1}}{S_{△DG{M}_1}}=\frac{E{M}_1\cdot BE}{G{M}_1\cdot DG}$, 故 $\frac{B{M}_1}{D{M}_1}=\frac{BE}{EG}=\frac{BE}{HD}$. 同理可证: $\frac{B{M}_2}{D{M}_2}=\frac{BE}{HD}$. 证毕.

根据引理, 可以推得 $EG$, $FH$, $AC$ 也交于一点, 命题得证.

当四边形 $ABCD$ 为凹四边形时, 证明完全同理.

当四边形 $ABCD$ 为折四边形时, 证明完全同理.

性质1. 圆内切四边形的两条对角线的中点和内切圆的圆心共线.

证明:

如图, 证明 $S_{△MID}=S_{△MIB}$

设 $S_{△AID}=S_1$, $S_{△CID}=S_2$, $S_{△BIC}=S_3$, $S_{△AIB}=S_4$

$S_{△MID}=S_2-\frac{1}{2}{S}_{△ACD}-\frac{1}{2}{S}_{△IAC}=S_2-\frac{1}{2}{S}_{△ACD}-\frac{1}{2}(S_1+S_2-S_{△ACD})=\frac{1}{2}(S_2-S_1)$

同理 $S_{△MIB}=\frac{1}{2}(S_3-S_4)$

易证, $(S_2-S_1)=\frac{1}{2}r(CD-AC)$, $(S_3-S_4)=\frac{1}{2}r(BC-AB)$, 显然相等, 证毕.

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