numpy.random使用文档

正态分布

二维正态分布

官方使用文档
https://numpy.org/doc/stable/reference/random/generated/numpy.random.RandomState.multivariate_normal.html

random.RandomState.multivariate_normal(mean, cov, size=None, check_valid='warn', tol=1e-8)

mean = (1, 2)
cov = [[1, 0], [0, 1]]
x = np.random.multivariate_normal(mean, cov, (3, 3))

第一个参数为均值向量，第二个参数为协方差矩阵。协方差矩阵参数与相关系数的关系如下。
$${\rho }_{xy}=\frac{Cov(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$$
下面展示不同的相关系数对生成的分布造成怎样的影响，

import numpy as np
from numpy.random import multivariate_normal
import matplotlib.pyplot as plt

def generate_data(mu1, mu2, stv1, stv2, rho, num):
	cov = np.array([[stv1**2, rho*stv1*stv2],[rho*stv1*stv2, stv2**2]])
	mu = np.array([mu1, mu2])
	X = multivariate_normal(mu, cov, size=num)
	plt.scatter(X[:,0], X[:,1], alpha=0.5, label=r'$\rho$={:.2f}'.format(rho))

for rho in [0, 0.23, 0.45, 0.68, 0.90]:
	generate_data(0,0,1,1,rho,200)
plt.legend()
plt.show()

生成结果如下图：相关系数越接近1，变量之间的线性关系越明显，也就是椭球更扁平。

另外，根据多元高斯的性质，如果构成多元高斯分布，任意多个变量子集都构成高斯分布：如果独立投影到X轴和Y轴，会发现二者都服从高斯分布。

import numpy as np
from numpy.random import multivariate_normal
import matplotlib.pyplot as plt

def show_1d_gauss(mu1, mu2, stv1, stv2, rho, num, ax):
	cov = np.array([[stv1**2, rho*stv1*stv2],[rho*stv1*stv2, stv2**2]])
	mu = np.array([mu1, mu2])
	X = multivariate_normal(mu, cov, size=num)
	X1 = X[:, 0]
	X2 = X[:, 1]
	ax.scatter(X1, X2, alpha=0.5)
	ax.scatter(X1, np.zeros_like(X1), alpha=0.2)
	ax.scatter(np.zeros_like(X2), X2, alpha=0.2)
	ax.set_title(r'$\rho$={:.2f}'.format(rho))

fig, axes = plt.subplots(2, 3)
rholist = [0, 0.23, 0.45, 0.68, 0.90, 1]

for i, rho in enumerate(rholist):
	show_1d_gauss(0,0,1,1,rho,200, axes.flatten()[i])

plt.show()

结果如图所示