高数中值定理总结

中值定理

一般用于证明题，分析步骤：确定区间、确定辅助函数、确定使用的定理、关键点分析。
f(x)在[a,b]上连续，

1. 有界与最值定理： $m\le f(x)\le M$
2. 介值定理：$m\le \mu \le M,\exists ϵ\in [a,b],f(ϵ)=\mu$
3. 平均值定理：$a<x_1<x_2<\cdots <x_n<b,\exists ϵ\in [x_1,x_n],f(ϵ)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}{n}$
4. 零点定理：$f(a)\cdot f(b)<0,\exists ϵ\in [a,b],f(ϵ)=0$
5. 费马定理：$x_0处可导且为极值,f^{\prime }(x_0)=0$
6. 罗尔定理：$[a,b)可导,f(a)=f(b),\exists ϵ\in [a,b],f^{\prime }(ϵ)=0$
7. 拉格朗日中值定理：$(a,b)可导,\exists ϵ\in [a,b],f(b)-f(a)=f^{\prime }(ϵ)(b-a)$
8. 柯西中值定理：$(a,b)可导,g^{\prime }(x)\ne 0,\exists ϵ\in [a,b],\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(ϵ)}{g^{\prime }(ϵ)}$
9. 泰勒公式(拉格朗日余项)：$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+\frac{f^{(n+1)}(ϵ)}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$
10. 泰勒公式(佩亚诺余项)：$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+O((x-x_0{)}^n)$
11. 积分中值定理：$\exists ϵ\in [a,b],\frac{{\int }_a^{b}f(x)dx}{b-a}=f(ϵ)$

有个记忆技巧，最常用的就七个，“零介费罗拉泰西”，看到证明题没思路可以一一试试，