逆序对数量与归并排序

简单题中归并排序的使用

问题描述

给定一个长度为 n 的整数数列，请你计算数列中的逆序对的数量。

逆序对的定义如下：对于数列的第 i 个和第 j 个元素，如果满足 i<j 且 a[i]>a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。

输入格式
第一行包含整数 n，表示数列的长度。

第二行包含 n 个整数，表示整个数列。

输出格式
输出一个整数，表示逆序对的个数。

数据范围
1≤n≤100000，
数列中的元素的取值范围 [1,109]。

输入样例：

6
2 3 4 5 6 1

输出样例：

5

分析与解题思路

我们知道，解决一个问题的第一步是定义清楚问题。
首页我们给出逆序对的定义：
对于数列的第 i 个和第 j 个元素，如果满足 i < j 且 a[i] < a[j] ，则其为一 个逆序对。
重要的地方在于，一个元素可以不止在一个逆序对中存在。如果 k > j > i 且 a[i] > a[j] > a[k] ，那么这里有俩个含a[i] 的逆序对，分别是（a[i],a[j])和 (a[i], a[k]),a[i]是可以使用多次的。
那么第二步是分析问题，这里我们可以使用分治思想解决问题。

我们将序列从中间分开，将逆序对分成三类：
1.俩个元素都在左边；
2.俩个元素都在右边；
3.俩个元素一个在走一个在右；

因此这就是我们算法的大致框架：
想计算逆序对数量按如下步骤：
1.递归算左边的；
2.递归算右边；
3.算一个左一个右；
4.把他们加到一起；

总之：
在同一边的逆序对是会被分治解决的，也就是说，总存在某个时刻，他们在两边。

这个时候我们注意到一个很重要的性质，左右半边的元素在各自任意调换顺序，是不影响第三步计数的，因此我们可以数完就给它排序。这么做的好处在于，如果序列是有序的，会让第三步计数很容易。
如果无序暴力数的话这一步是O(n^2)的。

比如序列是这样的：

4 5 6 | 1 2 3

当你发现 4 比 3 大的时候，也就是说右边最大的元素都小于左边最小的元素，那么左边剩下的5和6都必然比右边的所有元素大，因此就可以不用数5和6的情形了，直接分别加上右半边的元素个数就可以了，这一步就降低到了
O(n), 我们知道递归式 T(n) = 2T(n/2)+O(n) = O(nlogn)的，所以排序的成本是可以接受的，并且这一问题下，
可以很自然地使用归并排序。

代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int q[N];
unsigned long res = 0;

void msort(int q[], int l, int r )
{
    
    if (l >= r) return ;
    int mid = l + r >> 1;
    msort(q,l,mid);
    msort(q,mid + 1,r);
    
    int tep[r - l + 1];
    int i = l, j = mid + 1, k = 0;
    while (i <= mid && j <= r)
    {
    
        if (q[i] <= q[j]) tep[k++] = q[i++];
        else tep[k++] = q[j++],res += (mid - i + 1);
        
    }
    while (i <= mid) tep[k++] = q[i++];
    while (j <= r) tep[k++] = q[j++];
    for (int i = l,j = 0; i <= r; i++,j++) q[i] = tep[j];
}

int main()
{
    
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> q[i];
    msort(q,0,n - 1);
    cout << res;
    return 0;
}