浮点数的运算方法

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一、浮点数的表示

1.浮点数的表示

Ms表示尾数的符号位，E中1bit保存阶码的符号位其余空间存放阶码值，M中存放规格化后的尾数。

因为尾数规格化后其绝对值应大于或等于0.5D，故小数点后第一位都是1，故从小数点后第二位开始保存即可，节省空间并提高精度。

机器零的表示：

2.IEEE 754标准

预备知识：

◆ 单精度浮点数(32位)，阶码8位，尾数为24位(内含1位符号位)
◆ 双精度浮点数(64位)，阶码为11位，尾数为53位(内含1位符号位)
◆ 基数为2
◆ 阶码采用增码(即移码)，尾数采用原码
◆ 规格化原码尾数最高位 1 不在尾数中表示出来
* 恒为1，计算时在尾数的前面自动添加1.
* 隐含的1是一位整数（即位权为20）

为什么阶码采用移码：便于比较浮点数的大小

移码(增码)的特点
◆ 最高位为符号位，1表示正数，0表示负数（不同于原码，补码，反码的符号位规定，更符合人们对数值大小的认知。）
◆ 移码只执行加减法运算—专为阶码而生
◆ 需要对运算结果修正，修正量为2n
◆ 数据零有唯一的编码

IEEE 754标准：

单精度浮点数(32位)，阶码8位，尾数为24位(内含1位符号位) ，偏置值127（二进制：1111111）
◆ 基数为2
◆ 阶码采用增码(即移码)，尾数采用原码
◆ 规格化原码尾数最高位 1 不在尾数中表示出来
* 恒为1，计算时在尾数的前面自动添加1.
* 隐含的1是一位整数（即位权为$2^0$）

标准化过程：

3.浮点数类型

C语言中的浮点数类型
◆ float (十进制有效数字位数为7位)
◆ double(十进制有效数字位数为17位)
◆ 扩展双精度 long double
* 长度和格式由编译器和处理器类型决定
◆ 强制类型转换
* int->float, 不会发生溢出，有效数字可能被舍去
* int/float->double, 没有问题
* double->float, 可能发生溢出，数据可能被舍入
* float/double->int, 可能发生溢出
◆ 将大的浮点数转换为整数可能会导致程序错误

二、浮点数的加减法

1.定义

2.运算步骤

1. “对阶”操作---- Ex=Ey

求 △E=E-min(Ex, Ey)； E=max(Ex, Ey)，△E≠0
将阶码小的数的尾数右移△E位
原码：符号位不参加移位，尾数数值部分高位补0
补码：符号位参加移位，并保持原符号位不变

2. 尾数的加减运算

执行对阶后，两尾数进行加/减运算，得到两数之和/差。

3. 规格化操作
   双符号位的原码规格化尾数，其数值的最高位为1
   双符号位的补码规格化尾数，应是00.1xx…x或11.0xx…x

规格化规则：
如果结果的两个符号位的值不同，表示加减法运算尾数结果溢出。此时将尾数结果右移1位，阶码E+1，称为向右规格化，简称“右规”。
如果结果的两个符号位的值相同，表示加减法运算尾数结果不溢出。**若最高数值位与符号位相同，此时尾数连续左移，直到最高数值位与符号位的值不同为止。**同时 E-m(移位的位数) ,称为向左规格化，简称“左规”。

4. 舍入

执行右规或对阶时，尾数低位上的数值会移掉，使数值的精度受到影响。常用0舍1入法。
当末尾移掉的最高位为1时，在尾数的末位加1.如果加1后又使尾数溢出，则要再进行一次右规。

5. 检查阶码是否溢出

若阶码下溢，运算结果为机器零（通常将阶码和尾数全部置“0”）；若上溢，则置溢出标志。

二进制移位：左移一位相当于乘2，右移一位相当于除2。

例题演示：

三、运算部件

四、强化练习

解析：

解析：本题的关注点是精确二字。A的二进制是无限不循环小数；B的二进制是1.01；C的二进制是10.0；D的二进制是10.1；故不能精确表示的是A。

解析：

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