递归：一维链表和数组

反转字符串

编写一个函数，其作用是将输入的字符串反转过来。输入字符串以字符数组 s 的形式给出。
递归是将一个大问题转化成同样的小问题，原始问题与小问题是一样的，只不过问题的规模给缩小了。再反转字符串的时候，其实就是头尾两端的字符进行交换，然后依次向中间走即可。

l —>				<— r
h	e	l	l	o
	l —>	l	<— r
o	e	l	l	h

可以看到，就是重复操作左右两侧的字符串进行交换，然后字符串不断缩小（问题规模缩小），但是操作一直是重复不变的。

反转字符串的时候由于不需要递归之后再进行操作，因此操作再递归之前

class Solution:
    def reverseString(self, s: List[str]) -> None:
        """ Do not return anything, modify s in-place instead. """
        def dfs(arr, l, r):
            if l >= r: # 递归的终止条件
                return
            
            arr[l],arr[r] = arr[r],arr[l] # 重复操作部分。交换左右的两个字符
            dfs(arr,l+1,r-1) # 缩减问题的规模，重复操作
        
        dfs(s,0,len(s)-1)
        return s

反转链表

链表的反转也可以使用递归的，首先是我们要找到最末尾的元素，然后这个元素就是反转后的头节点，因此我们进行返回。然后我们就可以对元素进行反转，假设后续已经反转好了（递归会逐个反转的），现在a这个节点该如何反转呢？a的next是b,现在的目的是让b的next指向a，其实就很简单了

b=a.next # 目标
b.next=a # 目标是让b.next指向a
a.next.next=a # 由于a.next=b，所以可以直接写成

# Definition for singly-linked list.
# class ListNode:
# def __init__(self, val=0, next=None):
# self.val = val
# self.next = next
class Solution:
    def reverseList(self, head: ListNode) -> ListNode:

        if head is None or head.next is None:
            return head
        last = self.reverseList(head.next)
        head.next.next = head
        head.next = None
        return last
        

从尾到头打印链表

输入一个链表的头节点，从尾到头反过来返回每个节点的值（用数组返回）。

在递归函数后面还有操作，也就说这个递归函数一直往后找，最终找到了停止条件，这个时候就会返回了，在返回之后再进行一些操作，这里是把数据保存下来。
而且发现了一个问题，就是我们输入的参数是head，然后再递归函数中还有一个head.next，也就是说此时我们其实是由cur和next的。

一开始递归不是不断的从上往下走的，并不需要什么操作，一直走到最后找到了停止条件，然后开始逐步返回，这个时候就是从下往上走（逆向了），我们把每一步的head存储下来即可。

	1	2	3	4	5	None
	head
		head
			head
此时head是4				head
此时head是5，传入head.next					head
停止条件，head is None						head

# Definition for singly-linked list.
# class ListNode:
# def __init__(self, x):
# self.val = x
# self.next = None

class Solution:
    def reversePrint(self, head: ListNode) -> List[int]:
        res = []
        def dfs(head):
            if head is None:
                return
            
            dfs(head.next) # head.next is None,此时找到了停止条件
            res.append(head.val) # head的值并不是None，所以将值添加进来，并且此时开始逐步返回递归的head，也就是上一步的head
        
        dfs(head)
        return res

删除链表的倒数第 N 个结点

链表的递归我感觉更像是递归遍历，不通过for循环操作进行遍历，直接使用递归的原理进行遍历，再删除倒数第N个节点的时候，通过递归会顺向遍历到尾部，然后再从下往上返回，这个时候我们就可以计数了，记到第N+1个的时候，我们可以进行操作。

这其中有两个小技巧，一个是定义一个dummy的节点放到head的前面，这样如果要删除head的结点依然可以返回dummy.next，第二个是使用nonlocal这个关键字，这个关键字定义了内部函数可以操作函数以外的变量。

# Definition for singly-linked list.
# class ListNode:
# def __init__(self, val=0, next=None):
# self.val = val
# self.next = next
class Solution:
    def removeNthFromEnd(self, head: ListNode, n: int) -> ListNode:
        dummy = ListNode(0,head)
        def dfs(head):
            nonlocal n
            if head is None:
                return
            dfs(head.next)

            n -= 1
            if n == -1:
                head.next = head.next.next
        
        dfs(dummy)
        return dummy.next

两两交换链表中的节点

这个同样可以考虑递归，我们首先交换两个节点，后面的节点都是重复的操作，所以，这个问题可以用循环，也可以使用递归，不过这个问题需要思考返回的是什么。

我们怎么知道这个迭代公式的？怎么判断这个问题就是可以用递归呢？万一大问题并不能拆解成小问题呢？

# Definition for singly-linked list.
# class ListNode:
# def __init__(self, val=0, next=None):
# self.val = val
# self.next = next
class Solution:
    def swapPairs(self, head: ListNode) -> ListNode:
        if head is None or head.next is None:
            return head
        a = head
        b = head.next
        
        a.next = self.swapPairs(b.next)
        b.next = a
        return b

2的幂

给你一个整数 n，请你判断该整数是否是 2 的幂次方

这个问题同样可以考虑使用递归，大问题是判断一个数是否是2的幂次方，这个数除以2之后得到的新数同样会判断是否是2的幂次方，即大问题可以一步一步拆解成小问题，并且每一步都是再重复操作，重复去判断是否可以被2整除

可以看到这个问题是直接返回了递归函数，而且没有任何其他操作，这就意味着递归到最后一层的结果是直接层层返回去了，没有任何中间商，所以直接最后一步能否整除就是最后的结果。

我不知道n是否是2的幂次方，但是如果可以通过求解n%2来判断，如果我知道了n%21，那么n肯定不是2的幂次方，如果n%20，我依然不知道，但是我可以缩减问题的规模，如果我知道了(n//2)%==1,那么n肯定不是2的幂次方。

class Solution:
    def isPowerOfTwo(self, n: int) -> bool:
        if n == 1:
            return True
        elif n % 2 > 0 or n < 1:
            return False
        return self.isPowerOfTwo(n // 2)
        

汉诺塔

汉诺塔也是用递归的方式来做。假如我们有N个圆盘，我们先通过C把前N-1个圆盘移动到B上面，然后把A上面的圆盘给移动到C上面，然后我们再通过A，把B上上面的N-1个圆盘移动到C上面。
为什么会想到用递归呢？因为原始问题与缩减后的问题是一样的，我们可以把N转化成N-1，N-1转化成N-2，一直转化到2，1等等。使用的都是同样的方式，递归其实非常像是高中学习的递推公式，首先增明N=1的时候符合规律，然后证明N+1的时候也是符合规律的。也就是说不管问题规模有多大，都是符合同一个规律的，因此我们可以通过迭代的方式计算出来。

汉诺塔还有一个很有意思的地方，我们的输入是move(n,A,B,C)，要得到这个结果，所以我们函数中递归了一个move(n-1.A,C,B)，问题是我们该如何把n-1个圆盘进行移动呢？不知道，所以这就是递归让人疑惑的地方，就这么不断的递归下去问题就能解决了吗？是的，就这么解决了。反正我现在还没有想明白，通过move(n-1.A,C,B)之后，A上面就只有一个圆盘了，此时我们直接把这个圆盘移动到C上面即可。问题是，我现在都不知道C上面是否还有圆盘，问什么就可以直接移动，很神奇。

class Solution:
    def hanota(self, A: List[int], B: List[int], C: List[int]) -> None:
        """ Do not return anything, modify C in-place instead. """

        def move(n,A,B,C):
            if n == 1: # 剩下一个圆盘的时候，直接将A的圆盘移动到C上
                C.append(A.pop())
                return

            move(n-1, A, C, B) # 将A上面的n-1个圆盘通过C，移动到B上面
            C.append(A.pop()) # 此时把A上面最后一个圆盘移动到C上面即可
            move(n-1, B, A, C) # 此时B上面有n-1个圆盘，B再通过A把n-1个圆盘移动到C上面即可
        
        n = len(A)
        move(n,A,B,C)
        

50. Pow(x, n)

这个递归也非常有意思，同样是有点难以理解，我们求$x^n$其实可以递归成两种情况
$$x^n=\{\begin{array}{ll}(x^{\frac{n}{2}}{)}^2& \text{n\%2==0}\\ x\ast (x^{\frac{n}{2}}{)}^2& \text{n\%2==1}\end{array}$$
转化成递归函数的形式就是
$$pow(x,n)=\{\begin{array}{ll}pow(x,n//2{)}^2& \text{n\%2==0}\\ x\ast pow(x,n//2{)}^2& \text{n\%2==1}\end{array}$$

你问我怎么求解$pow(x,n//2)$我也不知道，反正就是根据这个递归公式不断递归就可以求解出来了。我也不知道怎么求$pow(x,n)$，但是如果我求出了$pow(x,n//2)$我就可以求出$pow(x,n)$了，如和求求解$pow(x,n//2)$呢？我只要求解出$pow(x,n//4)$就可以了，这样问题最后就会缩减到n=1也就是停止条件上，然后递归再进行返回，我们操作这个返回结果即可。

这个跟汉诺塔的问题非常的相像， 我不知道如何把n个圆盘从A移到C，但是如果我把n-1一个圆盘能移动到B，那么就可以完成。

class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:

        def dfs(x,n):
            if n == 0:
                return 1
            y = dfs(x, n//2)
            if n % 2 == 0:
                return y * y
            else:
                return x * y * y
        
        if n < 0:
            x = 1 / x
            n = -n

        r = dfs(x,n)
        return r