递归：快速排序，归并排序和堆排序

快速排序

快速排序的思想非常的简单，随便找一个元素作为标兵，然后使用双指针分别从左右开始移动，

1. 首先让右指针指向数组末尾R=len(arr)-1，然后判断是否大等于标兵元素，如果大于的话那么右指针就继续向左侧移动，即R -=1，直到找到小于标兵的位置
2. 然后让左指针指向数组的开始，然后判断是否小于等于标兵元素，如果小于那么指针就持续向右移动，即L += 1，直到找到打羽标兵的位置
3. 最后交换两个元素，将大的元素放到右侧，小的元素放到左侧。左右指针持续进行，直到两个指针相遇

可以看到快速排序其实就是不断进行交换的操作，操作完一轮之后，再对左右两侧的数据进行同样的操作，把一个大的问题转换成小的问题，所以快排用的就是递归算法。

快排有两个点非常容易写错

1. 与标兵比对的时候包含了等号。这是因为数组中可能有很多数据是与标兵相同的，与标兵相同的元素其实放在左边和放在右边都是可以的，反正最后排序之后都会与标兵相邻。而且还可以避免陷入死循环。例如下面这个数组，如果不加等号的话，你会发现l和r都不会变动。
   

2. 最外层的循环比较好理解，要求i<j，如果l==r就直接返回即可，不需要排序，但是内层循环中依然有一个i<j，这是为什么呢？主要是为了防止数组越界

3. 当i与j相等的时候，这一轮交换就结束了，然后将这个元素与标兵元素进行互换，标兵元素就到了他该到的位置。

从二叉树的角度更容易理解快速排序，首先就是找到根节点，然后根据根节点将数据分成两部分，左边都是小于等于根节点的，右边都是大于等于根节点的。然后不断向下递归即可。

这里有个优化，就是使用随机选取pivot，这样在原本就是递增的数组中也可以有很好的性能。如果原本就是一个排序好的arr，那么此时就会退化成$O(n^2)$。

  def quickSort(arr, l, r):
      if l >= r:             # 递归结束
          return  

      pivot_idx = random.randint(l, r)                   # 随机选择pivot
      arr[l], arr[pivot_idx] = arr[pivot_idx], arr[l]     # pivot放置到最左边
      pivot = arr[l]                                        # 选取最左边为pivot

      i, j = l, r     # 双指针
      while i < j:
          
          while i<j and arr[j] >= pivot:          # 找到右边第一个<pivot的元素
              j -= 1
          
          while i<j and arr[i] <= pivot:           # 找到左边第一个>pivot的元素
              i += 1
          
          arr[i],arr[j] = arr[j],arr[i]       # 并将其移动到right处
      arr[l],arr[i] = arr[i],pivot

      quickSort(arr, l, i-1)          # 递归对mid两侧元素进行排序
      quickSort(arr, i+1, r)
  
  quickSort(arr, 0, len(arr)-1)         # 调用快排函数对nums进行排序
  return nums

归并排序

归并排序的底层也是递归的思考，其实根快速排序非常的相似。归并排序有两个点

1. 我们把数组分成两个，左边和右边。如果左边我们排好序，然后右边也排好序，那么此时只需要将这两个子数组合并成一个即可。那么左右两个数组该如何排序呢？我们先看左边的数组，我们把左边的数组也分成两部分，如果这两部分是排好序的，我们直接合并即可。此时可以看到，我们把大的排序问题，转化成了每一个字部分的排序问题加合并问题。
   
   这个过程用递归写非常的简单

class Solution:
    def sortArray(self, nums: List[int]) -> List[int]:

        def mergesort(arr, l, r):
            if l >= r:
                return
            m = (l + r) // 2
            mergesort(arr,l,m) # 左半部分排序
            mergesort(arr,m+1,r) # 右半部分排序

            # 排好顺序的左右两部分再进行合并

            # 左边数组的范围是l~m
            # 右边数组的范围是m+1~r
            # 现在就是把这两个有序数组进行合并
            i,j = l,m+1
            tmp = []
            while i <= m and j <= r:
                if arr[i] < arr[j]:
                    tmp.append(arr[i])
                    i += 1
                else:
                    tmp.append(arr[j])
                    j += 1
            tmp += arr[i:m+1]
            tmp += arr[j:r+1]
            for k in range(l,r+1):
                arr[k] = tmp[k-l]

        mergesort(nums, 0, len(nums)-1)         # 调用快排函数对nums进行排序
        return nums