双线性插值公式推导及Matlab实现

一、引言

双线性插值作为一种比较简单的二维插值方法，常用于曲面插值或者图像插值。双线性插值需要已知四个角点坐标(xi,yi,zi),i=1,2,3,4，然后以此构建一张曲面片,即插值曲面。根据这四个已知角点，利用双线性插值函数，就可以计算该插值曲面片内部各点处的函数值，也可以用来预测该插值曲面片外部邻近区域的函数值。

二、双线性插值公式推导

如下图所示曲面片，四个角点坐标已知，对应的xoy平面矩形区域。

1）根据点A和点B建立直线AB方程，坐标是（x’,y1,z’）：

 

2）根据点C和点D建立直线CD方程，坐标是（x’’,y1,z’’）：

3）以直线AB和直线CD为端点，建立同时垂直于AB与CD的直线：

4）将式（1）和式（2）代入式（3）得：

该函数就是双线性插值函数。（虽然该公式看着稍微有点烦，但是你不能不说它很简单）

当四个角点分别是图像相邻的四个角点时，且假设其中一个角点（x1,y1）位于原点，由于相邻的像素距离是1，所以上式中的分母都是1，则可以得到图像上相邻四个像素构成的曲面片的插值函数为：

 

此公式即为图像的双线性插值公式。（图像的双线性插值原来如此简单）

二、曲面片的双线性插值实例（纯纯的手工，非interp1）

例1. 已知某曲面的四个角点坐标分别为( 0.1, 0.1 ), ( 0.1, 1.2 ), ( 1.1, 0.1 ), ( 1.1, 1.2 )，利用双线性插值完成该曲面插值，绘制插值插值之后的曲面片。

1）绘制四个角点构成曲面网格图：

参考代码：

clear all

clc

x = [ 0.1, 0.1; 1.1, 1.1 ];

y = [ 0.1, 1.2; 0.1, 1.2 ];

z = [ 1, 0.3; 1.9, 0.6 ];

plot3( x, y, z, 'ro' )

hold on

mesh( x, y, z )

colormap winter

colorbar

axis( [ -0.1, 1.2, -0.1, 1.2, 0, 2 ] )

hidden off

运行结果如下：

2）绘制利用曲面片内部插值点生成的网格曲面片

[ xi, yi ] = meshgrid( [ 0.1 : 0.1 : 1 ] );

x1 = x(1, 1);

x2 = x(2, 1);

y1 = y(1, 1);

y2 = y(1, 2);

z1 = z(1, 1);

z2 = z(2, 1);

z3 = z(1, 2);

z4 = z(2, 2);

x2_1 = x2 - x1;

y2_1 = y2 - y1;

yi_1 = yi - y1;

xi_1 = xi - x1;

zi = ( yi_1 .* xi_1 * ( z1 - z2 - z3 + z4 ) ) / ( x2_1 .* y2_1 ) ...

    + ( yi_1 .* ( z3 - z1 ) ) / y2_1 + ( xi_1 .* ( z2 - z1 ) ) / x2_1 + z1;

mesh( xi , yi, zi )

colormap spring

axis( [ -0.1, 1.2, -0.1, 1.2, 0, 2 ] )

colorbar

运行结果：

3）增加外部插值点之后得到的插值曲面

参考代码：（只需要修改横坐标和纵坐标取值范围即可）

[ xi, yi ] = meshgrid( [ -0.5 : 0.1 : 1.5 ] );

x1 = x(1, 1);

x2 = x(2, 1);

y1 = y(1, 1);

y2 = y(1, 2);

z1 = z(1, 1);

z2 = z(2, 1);

z3 = z(1, 2);

z4 = z(2, 2);

x2_1 = x2 - x1;

y2_1 = y2 - y1;

yi_1 = yi - y1;

xi_1 = xi - x1;zi = ( yi_1 .* xi_1 * ( z1 - z2 - z3 + z4 ) ) / ( x2_1 .* y2_1 ) ...

    + ( yi_1 .* ( z3 - z1 ) ) / y2_1 + ( xi_1 .* ( z2 - z1 ) ) / x2_1 + z1;

mesh( xi , yi, zi )

colormap spring

axis( [ -0.5, 1.6, -0.5, 1.6, -1, 3 ] )

colorbar

运行结果：