求各种极限的方法

 

---

直接代入型

• $\underset{x->3}{\lim }(x+1)$

x 的极限接近3，就是在 3 附近，我们直接把 x=3 代入 x+1 中计算，得 4.

有一些特例：

• $\frac{常数}{\infty }=0$
• $\frac{\infty }{常数}=\infty$
• $\frac{非零常数}{0}=\infty$
• ${\infty }^{>0}=\infty$
• ${\infty }^{<0}=\frac{1}{{\infty }^{>0}}=0$
• $n^{\infty }=0，0>n>1$
• $n^{\infty }=\infty ，n>1$

 

---

$\frac{\infty }{\infty }$ 型

一些题目直接代入是无解的，比如 $\frac{\infty }{\infty }$ 型，算出来不是一个具体数字，而是一个趋势。

• $\underset{x->\infty }{\lim }\frac{x^{100}+x^{-1001}+x}{x^{1000}+2x}$

 

---

解法：抓主要趋势

在很多个趋势（∞）里，我们要找到最大的那个趋势，因为那个才是影响最大的项。

$\frac{\infty }{\infty }$ 型，求解步骤：

• 找出趋势
• 看指数，分子、分母保留最大的趋势

$\underset{x->\infty }{\lim }\frac{x^{100}+x^{-1001}+x}{x^{1000}+2x}$

• = $\underset{x->\infty }{\lim }\frac{{\infty }^{100}+{\infty }^{-1001}+\infty }{{\infty }^{1000}+2\infty }$
• = $\underset{x->\infty }{\lim }\frac{\infty +0+\infty }{\infty +\infty }$
• = $\underset{x->\infty }{\lim }\frac{x^{100}}{x^{1000}}$
• = $\underset{x->\infty }{\lim }\frac{1}{x^{900}}$
• = $\underset{x->\infty }{\lim }\frac{1}{{\infty }^{900}}$
• = $\frac{1}{\infty }$
• = $0$
   

---

解法：用洛必达法则

 

---

$\frac{0}{0}$ 型

$\underset{x->0}{\lim }\frac{x}{sinx}=\frac{0}{0}$

当把 $x->0$ 代入式子后，会变成 $\frac{0}{0}$，也会出现无解的情况。

 

---

解法：用等价无穷小代换

当某部分趋向 0 时，有五种情况：

第一种情况，$x->0，sinx=x$，

• $\underset{x->0}{\lim }\frac{x}{sinx}=\frac{x}{x}=1$

第二种情况，$1-cos\Delta$ 可变为 $\frac{1}{2}{\Delta }^2$

• $\underset{x->0}{\lim }\frac{1-cosx}{x}=\underset{x->0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}{x}^2}{x}$

后续三种情况性质同上，都是代换形式。

 

---

解法：用洛必达法则

若将未知数 $x->0、x->\infty$ 代入后，式子是 $\frac{0}{0}$ or $\frac{\infty }{\infty }$ ，则 $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$，分子变成分子的导数、分母变成分母的导数。
 

---

$\infty \cdot 0$ 型

$\underset{x->\infty }{\lim }x(cos\frac{1}{x}-1)$

• = ∞ · (cos 0 - 1)
• = ∞ · 0

直接代入遇到 $\infty \cdot 0$，也算不出结果。

我们有另外的解法：

• 找到最简单的一项 a
• 把此项变成 $\frac{1}{\frac{1}{a}}$

$\underset{x->\infty }{\lim }x(cos\frac{1}{x}-1)$

• = $\underset{x->\infty }{\lim }\frac{1}{\frac{1}{x}}(cos\frac{1}{x}-1)$
• = $\underset{x->\infty }{\lim }\frac{cos\frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x}}$
• = $\frac{0}{0}$
   

---

指数、底数都有 x 的极限

形如：$\underset{x->0}{\lim }(1+3x{)}^{\frac{2}{sinx}}$

把 $底{数}^{指数}$ 变成 $e^{指数\cdot ln底数}$

$\underset{x->0}{\lim }(1+3x{)}^{\frac{2}{sinx}}=\underset{x->0}{\lim }{e}^{\frac{2}{sinx}ln(1+3x)}$

= $\underset{x->0}{\lim }{e}^{\frac{2ln(1+3x)}{sinx}}$

$\underset{x->?}{\lim }{e}^{指数}=e^{\underset{x->?}{\lim }指数}$

= $e^{\underset{x->0}{\lim }}\frac{2ln(1+3x)}{sinx}$
 

---

函数的左右极限

需要求左右极限的情形

有三种情况的极限，只能通过最原始的方法 — 左右极限来求。

• 第一类，函数是带大括号的分段函数，要求的极限是在分段点处的极限。

• 第二类，数 $g^{(x)}$ 在 $g(x)$ 的分母为 0 处的极限。

• 第三类，$arctang(x)$ 在 $g(x)$ 的分母为 0 处的极限

做题方法：

• 先求左极限、右极限
• 当左极限 = 右极限 = 不为 ∞ 的数时，函数极限存在，且极限 = 左极限 = 右极限
• 当左极限 = 右极限 = -∞ 或者 +∞ 时，函数极限为 ∞ / 不存在 / 没有极限
• 当左极限 != 右极限 且 存在不为 ∞ 的值时，函数极限不存在 且 不为 ∞