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数学建模——什么是数学建模
2022-07-07 12:50:00 【WangLanguager】
主要介绍两个数据建模的实例:包饺子、路障
介绍数据建模的全过程
介绍数学建模的基本方法和步骤
一、引言
数学:各门学科的基础,社会进步的工具
用数学方法解决任何一个实际问题,都必须在实际与数学之间架设一座桥梁。
解决过程:实际问题转化为数学问题;数学问题的求解;数学解答回归实际问题。
这个解决的过程称为数学建模,即为实际问题建立数学模型。
二、数学建模的实例1:包饺子
通常,1kg面,1kg馅,包100个饺子(或者汤圆),今天1kg面不变,但是馅比1kg多了,问:应是多包几个(每个小一点),还是少包几个(每个大一点)?
1、问题:圆面积的一个皮,包成体积的饺子;分为n个皮,每个小圆面积为:,包成体积为:的饺子。
和 谁大? 【定性分析】
比 大多少? 【定量分析】
2、假设(1)、饺子皮的厚度都一样 (2)、饺子的形状都一样
建模:= (1)
, ,其中为大饺子的半径,则 (2)
,,其中为小饺子的半径,则 (3)
由(1)、(2)、(3)可得:
应用:, 是的倍。
若100个饺子可以包1kg的馅,则50个饺子可以包kg馅
3、包饺子建模过程的基本关键步骤
(1)用数学语言(体积和表面积)表示现实现象(馅和皮)。
(2)做出简化合理的假设(厚度一样,形状一样)。
(3)利用问题蕴含的内在规律(体积、表面积和半径间的几何关系)
日常生活中可以用这个模型的结果解释很多的现象。
超时中大包装的商品相对小包装的商品单位价格要便宜。
三、数学建模实例2:汽车路障
1、背景:校园、居民小区的道路中间,常常设置路障用于限制汽车速度。
2、问题:如果要限制车速不超过40km/h,应该相距多远设置一个路障?
3、分析:汽车过路障时速度接近于零,过路障后加速,汽车车速加速到40km/h时,因为前面有下一个路障而减速,到达路障处车速又接近于零。
如此加速、减速循环交替以达到限速的目的。
4、假设:汽车在两个相邻路障之间进行等加速运动和等减速运动。
需要得到汽车的加速度和减速度。
方法一:查阅资料,方法二:进行测试
(1)汽车加速行驶的测试数据
速度(km/h) | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 |
时间(s) | 0 | 1.6 | 3.0 | 4.2 | 5 |
(2)汽车减速行驶的测试数据
速度(km/h) | 40 | 30 | 20 | 10 | 0 |
时间(s) | 0 | 2.2 | 4.0 | 5.5 | 6.8 |
5、建模:汽车加速行驶的距离S1,时间t1,加速度a1
汽车减速行驶的距离S2,时间t2,减速度a2,限速为:
则:, , ,
相邻路障间行驶总距离:
给定 ,由测试数据得到a1和a2,就可以计算出S。
两相邻路障间汽车行驶总距离设计为路障间距。
参数估计:设计行驶中车速和时间关系为:,测试数据,然后使用最小二乘法计算出:
则:
设置路障的间距为65米
6、路障间距建模的基本关键步骤
(1)做出简化合理的假设(等加速的等减速行驶)。
(2)利用问题蕴含的内在规律(时间、距离、速度、加速度之间的物理关系)
(3)根据测试数据估计模型的参数(加速度和减速度)
路障设计中使用的数学建模还可以用来解决其他问题,例如:设计路障的高度、路障的形状。
四、什么是数学模型(Mathematical Model)和数学建模(Mathematical Modeling)?
1、数学模型:对于一个现实对象,为了一个特定的目的,根据其内在规律,做出必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到一个数学结构。
2、数学建模:建立数学模型的全过程
3、数学建模的全过程:
现实对象的信息——>【表述】——>数学模型——>【求解】——>数学模型的解答——>【解释】——>现实对象的解答
两次“翻译过程”:现实现象翻译为数学 模型,数学模型的解答再翻译为现实现象的解答。
实践——>理论——>实践
五、数学建模的基本分析方法
(1)机理分析:对客观事物特性的认识,内部机理的数量规律。【白箱模型】
(2)测试分析:对量测数据的统计分析,与数据拟合最好的模型。【黑箱模型】
(3)机理分析、测试分析二者结合:机理分析建立模型机构,测试分析确定模型参数。【灰箱模型】
机理分析主要由实例研究来学习,建模主要指机理分析。
六、数学建模的基本步骤
模型准备——>模型假设——>模型构成——>模型求解——>模型分析——>模型检验——>模型应用
如果模型检验发现模型不合适,还需要再次更正模型假设
七、内容小结
对什么是数学建模有初步的了解
(1)数学建模指把实际问题转化为数学问题,然后进行数学问题的求解,解答数学问题后回归实际问题并不断修正数学模型的全过程。
(2)数学建模广泛存在于社会生活的各个领域。
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