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数学建模——什么是数学建模

2022-07-07 12:50:00 【WangLanguager】

主要介绍两个数据建模的实例：包饺子、路障

介绍数据建模的全过程

介绍数学建模的基本方法和步骤

一、引言

数学：各门学科的基础，社会进步的工具

用数学方法解决任何一个实际问题，都必须在实际与数学之间架设一座桥梁。

解决过程：实际问题转化为数学问题；数学问题的求解；数学解答回归实际问题。

这个解决的过程称为数学建模，即为实际问题建立数学模型。

二、数学建模的实例1：包饺子

通常，1kg面，1kg馅，包100个饺子（或者汤圆），今天1kg面不变，但是馅比1kg多了，问：应是多包几个（每个小一点），还是少包几个（每个大一点）？

1、问题：圆面积 $S_{all}$ 的一个皮，包成体积 $V_{all}$ 的饺子；分为n个皮，每个小圆面积为： $s_{small}$ ，包成体积为： $v_{small}$ 的饺子。

$V_{all}$ 和 $n\cdot v_{small}$ 谁大？【定性分析】

$V_{all}$ 比 $n\cdot v_{small}$ 大多少？【定量分析】

2、假设（1）、饺子皮的厚度都一样（2）、饺子的形状都一样

建模： $S_{all}$ = $n\cdot s_{small}$ (1)

$S_{all}=k1\cdot R^{2}_{big}$ , $V_{all}=k2\cdot R^{2}_{big}$ ,其中 $R_{big}$ 为大饺子的半径，则 $V_{all}=k\cdot S^{\frac{3}{2}}_{all}$ (2)

$s_{small}=k1\cdot r^{2}_{small}$ , $v_{small}=k2\cdot r^{2}_{small}$ ,其中 $r_{small}$ 为小饺子的半径，则 $v_{small}=k\cdot s^{\frac{3}{2}}_{small}$ (3)

由（1）、（2）、（3）可得： $V_{all}=n^{\frac{3}{2}}v_{small}$

应用： $V_{all}=\sqrt{n}\times (nv_{small})\geqslant nv_{small}$ , $V_{all}$ 是 $nv_{small}$ 的 $\sqrt{n}$ 倍。

若100个饺子可以包1kg的馅，则50个饺子可以包 $\sqrt{2}\approx 1.4$ kg馅

3、包饺子建模过程的基本关键步骤

(1)用数学语言（体积和表面积）表示现实现象（馅和皮）。

（2）做出简化合理的假设（厚度一样，形状一样）。

（3）利用问题蕴含的内在规律（体积、表面积和半径间的几何关系）

日常生活中可以用这个模型的结果解释很多的现象。

超时中大包装的商品相对小包装的商品单位价格要便宜。

三、数学建模实例2：汽车路障

1、背景：校园、居民小区的道路中间，常常设置路障用于限制汽车速度。

2、问题：如果要限制车速不超过40km/h，应该相距多远设置一个路障？

3、分析：汽车过路障时速度接近于零，过路障后加速，汽车车速加速到40km/h时，因为前面有下一个路障而减速，到达路障处车速又接近于零。

如此加速、减速循环交替以达到限速的目的。

4、假设：汽车在两个相邻路障之间进行等加速运动和等减速运动。

需要得到汽车的加速度和减速度。

方法一：查阅资料，方法二：进行测试

（1）汽车加速行驶的测试数据

速度（km/h）	0	10	20	30	40
时间(s)	0	1.6	3.0	4.2	5

（2）汽车减速行驶的测试数据

速度（km/h）	40	30	20	10	0
时间(s)	0	2.2	4.0	5.5	6.8

5、建模：汽车加速行驶的距离S1,时间t1，加速度a1

汽车减速行驶的距离S2，时间t2，减速度a2，限速为： $V_{max}$

则： $S1=\frac{1}{2}\cdot a_{1}\cdot t_{1}^{2}$ , $S2=\frac{1}{2}\cdot a_{2}\cdot t_{2}^{2}$ , $V_{max}=a_{1}\cdot t_{1}$ , $V_{max}=a_{2}\cdot t_{2}$

相邻路障间行驶总距离： $S=S1+S2=\frac{V_{max}^{2}}{2}\cdot (\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}})$

给定 $V_{max}$ ，由测试数据得到a1和a2，就可以计算出S。

两相邻路障间汽车行驶总距离设计为路障间距。

参数估计：设计行驶中车速和时间关系为： $t=C_{1}\cdot v+C_{2}$ ,测试数据，然后使用最小二乘法计算出：

$a_{1}=\frac{1}{c_{1}}=2.2046m/s^{2}$

$a_{2}=1.6437m/s^{2}$

$S=\frac{V_{max}^{2}}{2}\cdot (\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}})$

$V_{max}=40km/h$

则： S=65.5556m

设置路障的间距为65米

6、路障间距建模的基本关键步骤

（1）做出简化合理的假设（等加速的等减速行驶）。

（2）利用问题蕴含的内在规律（时间、距离、速度、加速度之间的物理关系）

（3）根据测试数据估计模型的参数（加速度和减速度）

路障设计中使用的数学建模还可以用来解决其他问题，例如：设计路障的高度、路障的形状。

四、什么是数学模型（Mathematical Model）和数学建模(Mathematical Modeling)？

1、数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定的目的，根据其内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。

2、数学建模：建立数学模型的全过程

3、数学建模的全过程：

现实对象的信息——>【表述】——>数学模型——>【求解】——>数学模型的解答——>【解释】——>现实对象的解答

两次“翻译过程”：现实现象翻译为数学模型，数学模型的解答再翻译为现实现象的解答。

实践——>理论——>实践

五、数学建模的基本分析方法

（1）机理分析：对客观事物特性的认识，内部机理的数量规律。【白箱模型】

（2）测试分析：对量测数据的统计分析，与数据拟合最好的模型。【黑箱模型】

（3）机理分析、测试分析二者结合：机理分析建立模型机构，测试分析确定模型参数。【灰箱模型】

机理分析主要由实例研究来学习，建模主要指机理分析。

六、数学建模的基本步骤

模型准备——>模型假设——>模型构成——>模型求解——>模型分析——>模型检验——>模型应用

如果模型检验发现模型不合适，还需要再次更正模型假设

七、内容小结

对什么是数学建模有初步的了解

（1）数学建模指把实际问题转化为数学问题，然后进行数学问题的求解，解答数学问题后回归实际问题并不断修正数学模型的全过程。

（2）数学建模广泛存在于社会生活的各个领域。

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