【4.1 质数及线性筛】

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概念

• 质数又称素数，一个大于$1$的自然数，除了$1$和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）

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4.1.1 试除法判定质数

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思想

• $N<2$不是质数
• 从$i=2$开始枚举，直到$\sqrt{n}$，若$i$能被$N$整除，说明不是质数
• 反之，则为质数

模板

bool is_prime(int n){
    
    
    if(n<2) return 0;  //若小于2直接返回false
    
    for(int i=2;i<=n/i;i++){
      //优化为sqrt(n)
        if(n%i==0) return 0;
    }
    
    return 1;
    
}

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例题 866. 试除法判定质数

原题链接

描述

给定 n 个正整数 ai，判定每个数是否是质数。

输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个正整数 ai。

输出格式
共 n 行，其中第 i 行输出第 i 个正整数 ai 是否为质数，是则输出 Yes，否则输出 No。

数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2^31−1
输入样例：

2
2
6

输出样例：

Yes
No

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

bool is_prime(int n){
    
    
    if(n<2) return 0;
    
    for(int i=2;i<=n/i;i++){
    
        if(n%i==0) return 0;
    }
    
    return 1;
    
}

int main(){
    
    
    int t;
    
    cin>>t;
    
    while(t--){
    
        
        int x;
        
        cin>>x;
        
        if(is_prime(x)) cout<<"Yes"<<endl;
        else cout<<"No"<<endl;
        
    }
    
    return 0;
    
}

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4.1.2 分解质因数

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概念

• 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数
• 把一个合数用质因数乘积的形式表示出来，叫做分解质因数
• 如$30=2\times 3\times 5$ ，分解质因数只针对合数。

思想

• 算术基本定理：任何一个大于$1$的自然数$N$,如果$N$不为质数
• 那么$N$可以唯一分解成有限个质数的乘积$N=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\cdots \times p_i^{a_k}$,且最多只有一个大于$\sqrt{n}$的质因子
• 这里$p_1<p_2<p_3\dots p_i$均为质数，其中指数$a_k$是正整数

模板

map<int,int> primes;  //存储质因子底数和其指数的映射

void get_div(int n){
    
    
    primes.clear();  //清空数据
    
    for(int i=2;i<=n/i;i++){
      //从2开始枚举质因子
        
        if(n%i==0){
      //当其为质因子时
            while(n%i==0){
    
                primes[i]++;  //指数增加
                n/=i;
            }
        }
        
    }
    
    if(n>1) primes[n]++;  //剩余的数大于1则为最后的质因子
    
}

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例题 867. 分解质因数

原题链接

描述

给定 n 个正整数 ai，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。

输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个正整数 ai。

输出格式
对于每个正整数 ai，按照从小到大的顺序输出其分解质因数后，每个质因数的底数和指数，每个底数和指数占一行。

每个正整数的质因数全部输出完毕后，输出一个空行。

数据范围
1≤n≤100,
2≤ai≤2×109
输入样例：

2
6
8

输出样例：

2 1
3 1

2 3

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

map<int,int> primes;

void get_div(int n){
    
    
    primes.clear();
    
    for(int i=2;i<=n/i;i++){
    
        
        if(n%i==0){
    
            while(n%i==0){
    
                primes[i]++;
                n/=i;
            }
        }
        
    }
    
    if(n>1) primes[n]++;
    
}

int main(){
    
    
    int n;
    
    cin>>n;
    
    while(n--){
    
        
        int x;
        
        cin>>x;
        
        get_div(x);
        
        for(auto &p : primes) cout<<p.first<<" "<<p.second<<endl;
        
        cout<<endl;
        
    }
    
    return 0;
    
}

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4.1.3 线性筛法求质数

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思想

• 对于$1\sim N$中的一个合数$n$
• 从小到大枚举筛选出的质数$p$，将$1\sim N$范围内质数$p$的倍数的合数筛掉
• 从而保证了$n$只会被其最小质因子$p_j$筛掉，且一定会在枚举到$p_j\times \frac{n}{p_j}$之前筛掉

模板

int cnt;  //记录质数个数

int primes[N];  //存储当前筛选出的质数

bool vis[N];  //标记是否被筛掉

void get_primes(int n){
    
    
    for(int i=2;i<=n;i++){
      //外层从2~n迭代
        
        if(!vis[i]) primes[cnt++]=i;  //没有被筛掉说明是质数，记录到primes[N]中
        
        for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++){
      //将1~n范围内质数primes[j]的i倍的合数筛掉
            vis[primes[j]*i]=1;  //用最小质因子primes[j]筛掉合数
            if(i%primes[j]==0) break;
            //i%primes[j]!=0 : 说明primes[j] < i的所有质因子，故primes[j]是primes[j]*i的最小质因子
            //i%primes[j]==0 : 说明从小到大枚举到此时的primes[j]，一定是i的最小质因子
        }
        
    }
    
}

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例题 868. 筛质数

原题链接

描述

给定一个正整数 n，请你求出 1∼n 中质数的个数。

输入格式
共一行，包含整数 n。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示 1∼n 中质数的个数。

数据范围
1≤n≤106
输入样例：

8

输出样例：

4

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e6+3;


int cnt;  //记录质数个数

int primes[N];  //存储当前筛选出的质数

bool vis[N];  //标记是否被筛掉

void get_primes(int n){
    
    
    for(int i=2;i<=n;i++){
      //外层从2~n迭代
        
        if(!vis[i]) primes[cnt++]=i;  //没有被筛掉说明是质数，记录到primes[N]中
        
        for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++){
      //将1~n范围内质数primes[j]的i倍的合数筛掉
            vis[primes[j]*i]=1;  //用最小质因子primes[j]筛掉合数
            if(i%primes[j]==0) break;
            //i%primes[j]!=0 : 说明primes[j] < i的所有质因子，故primes[j]是primes[j]*i的最小质因子
            //i%primes[j]==0 : 说明从小到大枚举到此时的primes[j]，一定是i的最小质因子
        }
        
    }
    
}

int main(){
    
    
    int n;
    
    cin>>n;
    
    get_primes(n);
    
    cout<<cnt<<endl;
    
    return 0;
    
}

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