漫画：如何实现大整数相乘？（上） 修订版

这周一小灰发布的新漫画中，存在两个小问题：

1.对于master定理的第三个条件叙述有误，应该是a+ε，而不是a-ε。

2.把分治法的T(n)和T(n/2)的关系带入master定理的第一个条件，计算ε值的过程有误。

本次修改了这两个问题，非常感谢小伙伴们的指正。

前一段时间，小灰发布了一篇有关大整数相加的漫画，没看过的小伙伴可以先看一看：

漫画：如何实现大整数相加？（修订版）

那么，大整数相乘又是如何实现的呢？

起初，小灰认为只要按照大整数相加的思路稍微做一下变形，就可以轻松实现大整数相乘。但是随着深入的学习，小灰才发现事情并没有那么简单......

————— 第二天 —————

怎样列出这个乘法竖式呢？以 93281 X 2034 为例，竖式如下：

在程序中，我们可以利用int型数组，把两个大整数按位进行存储，再把数组中的元素像小学竖式那样逐个进行计算。

这个乘法竖式的计算过程可以大体分为两步：

1.整数B的每一个数位和整数A所有数位依次相乘，得到中间结果。

2.所有中间结果相加，得到最终结果。

/**
 * 大整数求乘积
 * @param bigNumberA  大整数A
 * @param bigNumberB  大整数B
 */
public static String multiply(String bigNumberA, String bigNumberB) {
    //1.把两个大整数用数组逆序存储，数组长度等于两整数长度之和
    int lengthA = bigNumberA.length();
    int lengthB = bigNumberB.length();
    int[] arrayA = new int[lengthA];
    for(int i=0; i< lengthA; i++){
        arrayA[i] = bigNumberA.charAt(lengthA-1-i) - '0';
    }
    int[] arrayB = new int[lengthB];
    for(int i=0; i< lengthB; i++){
        arrayB[i] = bigNumberB.charAt(lengthB-1-i) - '0';
    }
    //2.构建result数组，数组长度等于两整数长度之和
    int[] result = new int[lengthA+lengthB];
    //3.嵌套循环，整数B的每一位依次和整数A的所有数位相乘，并把结果累加
    for(int i=0;i<lengthB;i++) {
        for(int j=0;j<lengthA;j++) {
            //整数B的某一位和整数A的某一位相乘
            result[i+j] += arrayB[i]*arrayA[j];
            //如果result某一位大于10，则进位，进位数量是该位除以10的商
            if(result[i+j] >= 10){
                result[i+j+1] += result[i+j]/10;
                result[i+j] = result[i+j]%10;
            }
        }
    }
    //4.把result数组再次逆序并转成String
    StringBuilder sb = new StringBuilder();
    //是否找到大整数的最高有效位
    boolean findFirst = false;
    for (int i = result.length - 1; i >= 0; i--) {
        if(!findFirst){
            if(result[i] == 0){
                continue;
            }
            findFirst = true;
        }
        sb.append(result[i]);
    }
    return sb.toString();
}

public static void main(String[] args) {
    String x = "3338429042340042304302404";
    String y = "12303231";
    System.out.println(multiply(x, y));
}

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下面，我们的推导会有一些烧脑，请大家坐稳扶好~~

大整数从高位到低位，被平分成了两部分。设整数1的高位部分是A，低位部分是B；整数2的高位部分是C，低位部分是D，那么有如下等式：

如果把大整数的长度抽象为n，那么：

因此，整数1与整数2 的乘积可以写成下面的形式：

如此一来，原本长度为n的大整数的1次乘积，被转化成了长度为n/2的大整数的4次乘积（AC，AD，BC，BD）。

什么是master定理呢？

master定理的英语名称是master theorem，它为许多由分治法得到的递推关系式提供了渐进时间复杂度分析。

设常数a >= 1，b > 1，如果一个算法的整体计算规模 T(n) = a T(n / b) + f(n)，那么则有如下规律：

假设两个长度为n的大整数相乘，整体运算规模是T(n) 。

根据刚才得到的结论，两个大整数相乘被拆分成四个较小的乘积：

所以在第一次分治时，T(n)和T(n/2)有如下关系：

T(n) = 4T(n/2) + f(n)

其中f(n)是4个乘积结果相加的运算规模，f(n)的渐进时间复杂度很明显是O(n)。

把这个关系带入到master定理的公式 T(n) = a T(n / b) + f(n) 当中，

此时 a=4， b=2。

此时，把a和b的值，以及f(n)的时间复杂度带入到master定理的第一个规律，也就是下面的规律：

发现正好符合条件。

怎么符合呢？推导过程如下：

所以我们的平均时间复杂度是：

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