求解斐波那契数列的若干方法

 问题描述

首先定义斐波那契数列问题：

定义 a_0=1a0​=1, a_1=1a1​=1, a_n=a_{n−1}+a_{n−2}an​=an−1​+an−2​，求 a_nan​ 是多少。
为了避免考虑整数溢出问题，我们求 a_n%pan​ 的值，p=10^9+7p=109+7 。

算法1——递归

递归计算的节点个数是 O(2^n)O(2n) 的级别的，存在大量重复计算。
时间复杂度是 O(2^n)O(2n) ，一秒内大约能算到第三四十项。

C++ 代码

const int MOD = 1000000007;
int f(int n)
{
    if (n <= 1) return 1;
    return (f(n - 1) + f(n - 2)) % MOD;
}

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算法2——记忆化搜索

开一个大数组记录中间结果，如果一个状态被计算过，则直接查表，否则再递归计算。
总共有 nn 个状态，计算每个状态的复杂度是 O(1)O(1) ，所以时间复杂度是 O(n)O(n) 。
一秒内算 n=10^7n=107 毫无压力，但由于是递归计算，递归层数太多会爆栈，大约只能算到 n=10^5n=105 级别。

C++ 代码

const int N = 100000, MOD = 1000000007;
int a[N];
int f2(int n)
{
    if (a[n]) return a[n];
    if (n <= 1) return 1;
    a[n] = f2(n - 1) + f2(n - 2);
    a[n] %= MOD;
    return a[n];
}

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算法3——递推

开一个大数组，记录每个数的值。用循环递推计算。
总共计算 nn 个状态，所以时间复杂度是 O(n)O(n) 。
但需要开一个长度是 nn 的数组，内存将成为瓶颈，当 n=10^8n=108 时，需要的内存是 4∗1081024×1024≈381MB4∗1081024×1024≈381MB。
式子中乘 4 是因为 C++ 中 int 类型占 4 字节。

C++代码

const int N = 100000000, MOD = 1000000007;
int f3(int n)
{
    a[0] = a[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        a[i] = a[i - 1] + a[i - 2];
        a[i] %= MOD;
    }
    return a[n];
}

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算法4——递推+滚动变量

仔细观察我们会发现，递推时我们只需要记录前两项的值即可，没有必要记录所有值，所以我们可以用滚动变量递推。
时间复杂度还是 O(n)O(n)，但空间复杂度变成了 O(1)O(1) 。

C++代码：

const int MOD = 1000000007;
int f4(int n)
{
    int x, y, z;
    x = y = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        z = (x + y) % MOD;
        x = y;
        y = z;
    }
    return z;
}

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算法5——矩阵运算 + 快速幂。

用算法 4 我们 1 秒内最多可以算到 10^8108 级别，那当 nn 更大时该怎么办呢？
可以先利用矩阵运算的性质将通项公式变成幂次形式，然后用平方倍增（快速幂）的方法求解第 nn 项。

首先我们定义向量

X_n=[a_n\ a_{n−1}] ,边界：X_1=[a_1\ a_0]Xn​=[an​ an−1​],边界：X1​=[a1​ a0​]

然后我们可以找出矩阵：

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}[11​10​]

则有：

X_n=X_{n−1}×AXn​=Xn−1​×A

所以：

X_n=X_1×A^{n−1}Xn​=X1​×An−1
由于矩阵具有结合律，所以我们可以先求出 A^{n−1}%PAn−1 ，然后再用 X_1X1​ 左乘，即可求出 X_nXn​ ，向量 X_nXn​ 的第一个元素就是 a_nan​。

时间复杂度分析：快速幂的时间复杂度是 O(\log n)O(logn) ，所以算法 5 的时间复杂度也是 O(\log n)O(logn) 。

C++代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <ctime>

using namespace std;

const int MOD = 1000000007;

// 矩阵运算 计算 c = a × b
void mul(int a[][2], int b[][2], int c[][2])
{
    int temp[][2] = {
   {0, 0}, {0, 0}};
    for (int i = 0; i < 2; i ++ )
        for (int j = 0; j < 2; j ++ )
            for (int k = 0; k < 2; k ++ )
            {
                long long x = temp[i][j] + (long long)a[i][k] * b[k][j];
                temp[i][j] = x % MOD;
            }
    for (int i = 0; i < 2; i ++ )
        for (int j = 0; j < 2; j ++ )
            c[i][j] = temp[i][j];
}


int f_final(long long n)
{
    int x[2] = {1, 1};              // X_1 矩阵

    int res[][2] = {
   {1, 0}, {0 , 1}};  // 单位矩阵，用来保存 A
    int t[][2] = {
   {1, 1}, {1, 0}};  // 
    
    // 快速幂运算，计算 A^(n-1)
    long long k = n - 1;
    while (k)
    {
        if (k&1) mul(res, t, res);
        mul(t, t, t);
        k >>= 1;
    }
    // 计算 X_1 * A^(n-1)
    int c[2] = {0, 0};          // X_n
    for (int i = 0; i < 2; i ++ )
        for (int j = 0; j < 2; j ++ )
        {
            long long r = c[i] + (long long)x[j] * res[j][i];
            c[i] = r % MOD;
        }

    return c[0];
}


int main()
{
    long long n ;

    cin >> n;
    cout << f_final(n) << endl;
    return 0;
}

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附：快速幂运算模板

求 m^k\%pmk%p 时间复杂度 O(\log k)O(logk)

代码：

// 利用二分(倍增)的思想 在 k 为偶数时，将 m^k 拆解为 （m^2）^(k/2)，来极大减少运算量
int pw(int m, int k, int p)
{
    int res = 1 % p, t = m;
    while (k)
    {
        if (k&1) res = res * t % p;
        t = t * t % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

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通项公式法

此法 O(1)O(1) 时间，应用此法的前提是知道斐波那契数列的通项公式：

F_n = \frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n}{\sqrt{5}}Fn​=5​(21+5​​)n−(21−5​​)n​

将 nn 代入计算即可，代码略，需要注意浮点数的算术运算有精度损失，因此，结果在 nn 较大时可能会有错误。