matlab / ENVI 主成分分析实现及结果分析

前情提要：最近在做主成分分析筛选变量，目的是计算每个环境数据在不同主成分上的载荷大小，但是算出来感觉和别的论文结果不对，所以参考一些文献试图理解一下。

1 主成分载荷

百度百科说：主成分载荷( oad of principal component)主成分分析中原始变量与主成分之间的相关系数。
再往深了理解：参考这个文档写的特别详细链接: 主成分分析法

那么很容易理解，主成分载荷就是原始数据之前的系数，用主成分载荷与原始数据相乘即可得到主成分。

2 matlab主成分分析实验

按照上述思路，我分别用ENVI和matlab做了实验。
我这里使用的是26个环境变量，分辨率都是一样的。我想用主成分分析计算不同变量的载荷，来确定哪些变量比较重要然后保留下来去跑模型。直接上matlab的代码

clear all; clc
[tifname,tifpath] = uigetfile('.tif','选择环境tif数据','MultiSelect','on');

for i = 1:numel(tifname)
    [A,~] = geotiffread([tifpath,tifname{
    i}]);
    Environ_Var(:,:,i) = double(A);  % 把那些环境变量合成一个矩阵
end

E = reshape(Environ_Var,size(Environ_Var,1)*size(Environ_Var,2),...
    size(Environ_Var,3));   % 把三维数据换成二维，列是变量
E(E == -9999) = nan;
E = E(~isnan(E(:,1)),:);  % 去除变量中的nan值
E_Norm = normalize(E);  % 标准化变量

[coeff,score,latent,~,explained,~] = pca(E_Norm,'Centered',false);

注意：1、我这些变量他们的单位量纲大不相同，所以要给他们做标准化，然后调用pca函数时就不需要再中心化处理了。
2、我的环境变量中无数据值是-9999，所以我标准化之前把它们去除了。

由计算结果可分析知：
coeff即为主成分载荷，每一列对应一个主成分（matlab帮助文档里把它叫主成分系数）
为什么这样说呢，从matlab帮助文档（链接: 原始数据的主成分分析）可知：score*coeff ’ 可恢复为原始数据。（至于为什么是coeff的转置，score是主成分分数，行对应于观测值，列对应于成分；coeff 的每列都包含一个主成分的系数。所以用score的一行去乘coeff的一行才是一个观测值）

然后我也试了一下，发现确实如此，恢复的数据与我标准化的数据是一样的。

从开头说的A^T X = PC变换一下就可以知道，载荷就是主成分系数A。
但是这里还有一个问题就是 matlab算的这个coeff需要乘-1（也就是符号相反）才是真正的变量载荷 ，至于为什么往下看ENVI的实验

3 ENVI主成分分析实验

具体操作可以看之前的博客ENVI5.3.1使用Landsat 8影像进行主成分分析实例操作
但这个博客只有纯步骤，没有分析结果，而且注意一点：选择相关性矩阵还是协方差矩阵：数据之间量纲较大就用相关性矩阵，量纲相差不大或者你已经给数据做了标准化那就用协方差。而且ENVI做主成分时不能有nan值，如果有需要进行掩膜处理
注意这一点也差不多了然后直接看ENVI结果。（具体结果没有截图我存在了excel里）

可以看到ENVI会给你特征值、特征向量这样的东西，特征向量是每行代表一个成分，列代表变量。
现在拿出第一个主成分的载荷（ENVI特征向量、matlab的coeff）来看一下结果：

很神奇二者数值几乎一样只是符号相反。那怎么确定哪个是正确的符号呢？那就要看载荷的意义。那SST year mean举例（举例也可以看这个https://wenku.baidu.com/view/5dc0b7c1514de518964bcf84b9d528ea81c72f6f.html讲的很详细），我现在已经知道如果SST升高对我生物生存是不利的，那么SST的载荷就应该是负号。
那么在matlab里画一下图吧，离原点越近的变量，需要将其剔除

4 总结

若要计算变量在主成分上的载荷，ENVI是特征向量eigenvector，matlab是主成分系数coeff再乘-1变个号。