二分（整数二分、实数二分）

二、二分

单调序列或单调函数中的查找方式。（终止条件：l=r）

整数域二分

解析

• 注意终止边界、左右区间取舍。

（1）缩小范围：r=mid，l=mid+1，取中间值：mid=(l+r)>>1。

（2）缩小范围：l=mid，r=mid+r，取中间值：mid=(l+r+1)>>1。

第一种不会取到$r$这个值，第二种不会取到$l$。可以用来处理无解的情况。最初的二分区间从[1,n]扩大到[1,n+1]和[0,n]，若最后二分终止在这个越界的下标上，则无解。

huangzh

• 右移运算向下取整，整数除法向零取整。

模板

例题

789. 数的范围 - AcWing题库

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int a[N];
int n,q,k;
int main(){
    
    cin>>n>>q;
    for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
    while(q--){
    
        int k;
        cin>>k;
        int l=0,r=n-1;
        while(l<r){
    
            int mid=l+r>>1;
            if(a[mid]>=k)r=mid;
            else l=mid+1;
        }
         
        if(a[l]!=k)cout<<"-1 -1"<<endl;
        else {
    
            cout<<l<<" ";
            l=0,r=n-1;
            while(l<r){
    
                int mid=l+r+1>>1;
                if(a[mid]<=k)l=mid;
                else r=mid-1;
            }
            cout<<l<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

实数域二分

解析

• 注意精度问题
  使用循环固定次数的二分方法解决精度问题。（精度比eps高）

模板

for(int i=0;i<100;i++){
    //求mid
    double mid=(l+r)/2;
    if(calc(mid))r=mid; else l=mid;
}

例题

790. 数的三次方根 - AcWing题库

• eps的精度要求

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
    
    double n;
    cin>>n;
    double l=-10000,r=10000;
    while(r-l>1e-8){
    
        double mid=(l+r)/2;
        if(mid*mid*mid>=n)r=mid;
        else l=mid;
    }
    printf("%.6lf",l);
    return 0;
}