神经网络入门之模型选择（PyTorch）

https://courses.d2l.ai/zh-v2/

模型选择

训练误差和泛化误差

• 训练误差：模型在训练数据上的误差
• 泛化误差：模型在新数据上的误差
• 例子：根据模考成绩来预测未来考试分数
  • 在过去的考试中表现很好（训练误差）不代表未来考试一定很好（泛化误差）
  • 学生 A 通过背书在模考中拿到很好成绩
  • 学生 B 知道答案后面的原因

验证数据集和测试数据集

• 验证数据集：一个用来评估模型好坏的数据集
  • 例如拿出50%的训练数据
  • 不要跟训练数据混在一起（常犯错误）
• 测试数据集：只用一次的数据集。例如
  • 未来的考试
  • 我出价的房子的实际成交价
  • 用在 Kaggle 私有排行版中的数据集

• 因为验证数据集没有参与训练，一定程度上可以反映模型超参数选择的好坏
• 验证数据集和训练数据及一定不能混在一起

K-则交叉验证

• 在没有足够多数据时使用（这是常态）
• 算法：
  • 将训练数据分割成 K 快
  • For i =1,…,K
    • 使用第 i 块作为验证数据集，其余的作为训练数据集
  • 报告 K 个验证数据集误差的平均
• 常用：K=5 或 10

validation dataset 测试数据集

总结

• 训练数据集：训练模型参数
• 验证数据集：选择模型超参数
• 非大数据集上通常使用 k-折交叉验证

k-折交叉验证（k-fold cross-validation）
分成K份，做K次，每次留一份做验证，剩下的作为训练集
来通过K折的平均误差来判断超参数的好坏

过拟合和欠拟合

capacity 容量，也可以理解为能力

模型容量

• 拟合各种函数的能力
• 低容量的模型难以拟合训练数据
• 高容量的模型可以记住所有的训练数据

模型容量的选择

高阶多项式函数比低阶多项式函数复杂得多。 高阶多项式的参数较多，模型函数的选择范围较广。 因此在固定训练数据集的情况下， 高阶多项式函数相对于低阶多项式的训练误差应该始终更低（最坏也是相等）。 事实上，当数据样本包含了$x$的不同值时， 函数阶数等于数据样本数量的多项式函数可以完美拟合训练集。

估计模型容量

• 难以在不同的种类算法之间比较
  • 例如树模型和神经网络
• 给定一个模型种类，将有两个主要参数
  • 参数的个数
  • 参数值的选择范围

线性模型的参数个数是 d+1 ，1是参数的偏移

VC维

• 统计学习理论的一个核心思想
• 对于一个分类模型，VC等于一个最大的数据集的大小，不管如何给定标号，都存在一个模型来对它进行完美分类

林轩田这块讲得很好(vc dimension)，<<机器学习基石>>

线性分类器的VC维

• 2维输入的感知机，VC维=3

  • 能够分类任何三个点，但不是4个(xor)
    
    

• 支持 N 维输入的感知机的 VC 维是 N+1

• 一些多层感知机的 VC 维 $O(Nlo{g}_{2}N)$

2为输入感知机意思是，输入特征是2，输出是1

VC维的用处

• 提供为什么一个模型好的理论依据
  • 它可以衡量训练误差和泛化误差之间的间隔
• 但深度学习中很少使用
  • 衡量不是很准确
  • 计算深度学习模型的 VC 维很困难

数据复杂度

• 多个重要因素
  • 样本个数
  • 每个样本的元素个数
  • 时间、空间结构
  • 多样性

总结

• 模型容量需要匹配数据复杂度，否则可能导致欠拟合和过拟合
• 统计机器学习提供数学工具来衡量模型复杂度
• 实际中一般靠观察训练误差和验证误差

代码

多项式回归

通过多项式拟合来探索这些概念

import math
import numpy as np
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

生成数据集

给定，我们将使用以下三阶多项式来生成训练和测试数据的标签：

噪声项$ϵ$服从均值为0且标准差为0.1的正态分布。 在优化的过程中，我们通常希望避免非常大的梯度值或损失值。 这就是我们将特征从$x^i$调整为$\frac{x^i}{i!}$的原因， 这样可以避免很大的带来的特别大的指数值。 我们将为训练集和测试集各生成100个样本。

max_degree = 20  # 多项式的最大阶数
n_train, n_test = 100, 100  # 训练和测试数据集大小
true_w = np.zeros(max_degree)  # 分配大量的空间
true_w[0:4] = np.array([5, 1.2, -3.4, 5.6])

features = np.random.normal(size=(n_train + n_test, 1))
np.random.shuffle(features)
poly_features = np.power(features, np.arange(max_degree).reshape(1, -1))
for i in range(max_degree):
    poly_features[:, i] /= math.gamma(i + 1)  # gamma(n)=(n-1)!
# labels的维度:(n_train+n_test,)
labels = np.dot(poly_features, true_w)
labels += np.random.normal(scale=0.1, size=labels.shape)

同样，存储在poly_features中的单项式由gamma函数重新缩放，其中$\Gamma (n)=(n-1)!$。 从生成的数据集中查看一下前2个样本， 第一个值是与偏置相对应的常量特征。

# NumPy ndarray转换为tensor
true_w, features, poly_features, labels = [torch.tensor(x, dtype=
    torch.float32) for x in [true_w, features, poly_features, labels]]

features[:2], poly_features[:2, :], labels[:2]

对模型进行训练和测试

损失函数

首先让我们实现一个函数来评估模型在给定数据集上的损失。

def evaluate_loss(net, data_iter, loss):  #@save
    """评估给定数据集上模型的损失"""
    metric = d2l.Accumulator(2)  # 损失的总和,样本数量
    for X, y in data_iter:
        out = net(X)
        y = y.reshape(out.shape)
        l = loss(out, y)
        metric.add(l.sum(), l.numel())
    return metric[0] / metric[1]

训练函数

现在定义训练函数。

def train(train_features, test_features, train_labels, test_labels,
          num_epochs=400):
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    input_shape = train_features.shape[-1]
    # 不设置偏置，因为我们已经在多项式中实现了它
    net = nn.Sequential(nn.Linear(input_shape, 1, bias=False))
    batch_size = min(10, train_labels.shape[0])
    train_iter = d2l.load_array((train_features, train_labels.reshape(-1,1)),
                                batch_size)
    test_iter = d2l.load_array((test_features, test_labels.reshape(-1,1)),
                               batch_size, is_train=False)
    trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.01)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[1, num_epochs], ylim=[1e-3, 1e2],
                            legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        d2l.train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, trainer)
        if epoch == 0 or (epoch + 1) % 20 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('weight:', net[0].weight.data.numpy())

三阶多项式函数拟合（正常）

我们将首先使用三阶多项式函数，它与数据生成函数的阶数相同。 结果表明，该模型能有效降低训练损失和测试损失。 学习到的模型参数也接近真实值$w=[5,1.2,-3.4,5.6]$。

# 从多项式特征中选择前4个维度，即1,x,x^2/2!,x^3/3!
train(poly_features[:n_train, :4], poly_features[n_train:, :4],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

weight: [[ 5.0008 1.2447366 -3.4524488 5.443078]]

线性函数拟合（欠拟合）

让我们再看看线性函数拟合，减少该模型的训练损失相对困难。 在最后一个迭代周期完成后，训练损失仍然很高。 当用来拟合非线性模式（如这里的三阶多项式函数）时，线性模型容易欠拟合。

# 从多项式特征中选择前2个维度，即1和x
train(poly_features[:n_train, :2], poly_features[n_train:, :2],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

weight: [[3.4807658 3.1861916]]

损失根本就没怎么降

高阶多项式函数拟合（过拟合）

现在，让我们尝试使用一个阶数过高的多项式来训练模型。 在这种情况下，没有足够的数据用于学到高阶系数应该具有接近于零的值。 因此，这个过于复杂的模型会轻易受到训练数据中噪声的影响。 虽然训练损失可以有效地降低，但测试损失仍然很高。 结果表明，复杂模型对数据造成了过拟合。

# 从多项式特征中选取所有维度
train(poly_features[:n_train, :], poly_features[n_train:, :],
      labels[:n_train], labels[n_train:], num_epochs=1500)

可以看到后面W本来应该都是0的，都被赋予了值

QA

1. 时间序列上的数据，训练集和验证集可能会有自相关性，这时候应该怎么处理？
   切一块，不能从中间取一块

2. 模型参数和超参数不一样吗？
   模型参数是指W和b
   超参数，例如是选线性模型还是多层感知机。如果是多层感知机，是选多少层，每层多大，训练的时候学习率是多少。模型参数以外，所有我们要来设计的，都是超参数。

3. 如何有效设计超参数，是不是只能搜索？最好用的搜索是贝叶斯方法还是网格、随机？
   超参数的设计靠自己的经验。
   可以每次随机选择一个模型，然后遍历出其中最好的一个。