动态规划（一）| 斐波那契数列和归递

作者按

谢谢大家支持，今天一觉醒来，发现登上榜啦~~~

斐波那契数列

引入

大家都知道兔子的繁殖能力很强，这个数列的来历，大概讲的就是1对刚出生的兔子，两个月后就能够繁殖新的一对，下面红色的代表到了繁殖期，其他颜色代表未达到繁殖期，

仔细观察我们不难发现他的规律就是在第三个月开始，当月都等于前两个月之和，这个就是著名的斐波那契数列，数学上用递归来定义

n	1	2	3	4	5	6	7	8
	1	1	2	3	5	8	13	21

公式

黄金分割率

天文学家开普勒发现前一项和后一项的比值趋近于一个数，就是著名的黄金分割


人的耳朵，海螺、向日葵的形状都近似于黄金螺旋，细菌的培养皿也是，其实很简单，如果没有天敌，营养充足，就会呈现出黄金螺旋的形状，如果后期环境恶化，这种情况就会萎缩，就像海螺最大圈停止生长一样。

递归

看到斐波那契数列的公式，发现他如果要用代码实现的话，就要用到递归，也就是函数自己调用自己，即Fn=Fn-1+Fn-2，递归一般都是按照自顶向下的形式编写

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以下采用matlab代码演示

递归的斐波那契数列

大家可以思考一下，这个f入栈的形式是怎样的，也就是展示出来的f的值的大小顺序是如何

function f= fib_dg(n)
    if n==1 ||n ==2
        f=1;
    else
        f=fib_dg(n-1) + fib_dg(n-2);
    end
end

阶乘

function f=jc(n)
    if n==1
        fprintf("现在n=%d\n",n);
        f=1;
        fprintf("现在f=%d\n",f);
    else
        fprintf("现在n=%d\n",n);
        f=n.*jc(n-1);
        fprintf("现在f=%d\n",f);
    end
end

算法复杂度=时间复杂度+空间复杂度
如果这里的n过大，2^n就会无穷大，算法设计的就有问题，所以引出下列两种递归方法

带有备忘录的递归

不推荐用，因为麻烦

function f= fib_dg_memo(n)
    global memo;
    if n==1 ||n ==2
        f=1;
    elseif memo(n)== - 1
        memo(n)=fib_dg_memo(n-1) + fib_dg_memo(n-2);
         f=memo(n);
    else
        f=memo(n);
    end
end

这个备忘录其实是-1的矩阵，然后写入的时候就把值替换掉

本期结束，下一期将展示自下而上的算法，并引出动态规划算法